Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

здесь А — х = {у:у-т-х£А}, мы воспользовались не только незави-
симостью приращений, но и однородностью. Полагая

Р™ (А, х, А) = Р {да (А) — да (0)6А — х} =
= (2пп)-*1^ехр{-±\у-х\2\с1у, (28)

а

убеждаемся, что

Р{да(£ + А)бЛ/да(£1), ...,«»(/„), да(0}=Я<*(А, да(0, Л),

это означает, что семейство процессов йу(0—ау(0)+л: можно
рассматривать как однородный марковский процесс с вероят-
ностью перехода (28). Этот процесс обладает свойством од-
нородности по пространству: процесс, начинающийся в точке х,
может быть получен сдвигом на х траектории процесса, на-
чинающегося в точке 0. Будем в дальнейшем считать, что
ш(0)=0, и тогда ш(/) обозначает траекторию марковского
процесса, начинающегося в точке 0. Если, как в предыдущем
параграфе, обозначать через Рх распределение в С^й, отвеча-
ющее начальному значению х, то однородность по простран-
ству означает, что для всякой ограниченной измеримой функ-
ции /(*(■)) Н3 С7?<*

м*/и(-))=м0/(Е(-)+*)
(здесь через £(•) обозначена траектория процесса), если
!(х(-)) измерима, то такой будет и функция }а(х{-)) =
=/(*(•)+«)• Таким образом, для процесса, однородного по
пространству, можно вместо семейства мер Рх рассматривать
единственную меру.

Используя вид вероятности перехода, убеждаемся, что

Р™ (А, (х)) = Р {| да (А) | > е} < ± М | да (А) \т =

4=^М|да(1)|'" = о(А), ш>2, (29)

| (у'-х*)Р"(/1,х,ау)= | у1Р"{к, 0, йу) =

\У-х\<г \у\<е

= Мдаг(А)/{|да(л)|<Е}=Мда'(А) + Мда''(А) /{МА)|>е} =

= 0 ((М | да (А) |2)1/2(Р {| да (А) | > е})]/2) = о (А) (30)

(мы воспользовались оценкой (29)). Наконец, аналогично

| (У1 — х1)(ук — х") Р™ (А, х, йу) = М (да* (А) да* (А)) +

\у—л|<е

+ а(А) = 6^А + о(А).

Таким образом, до(£)—диффузионный процесс с постоянными
диффузионными коэффициентами: а'=0, 6'й=бг&.

б) Винеровская мера. Винеровский процесс йу(^)
(считаем, как говорилось выше, что и>(0)=0) обладает еще
одним замечательным свойством — автомодельностью. Это
означает, что существует такая функция яр из Я+ в Р+, для
которой для всякого Я>0 процесс да(М) имеет такие же
распределения, как и гр (Я,) ш (/), конкретно для винеровского
процесса яр(Я)=У^. Действительно, да(М) и УЯл>(0—однород-
ные процессы с независимыми приращениями, да(М) и
УЯш(^) имеют нормальное распределение со средним 0 и кор-
реляционным оператором %Н.

Обозначим через Рхт меру, отвечающую марковскому про-
цессу на пространстве функций Сл<*[0, 7"], определенных на
[О, Т] (она определяется своими значениями на цилиндриче-
ских множествах с основаниями из [О, Г], см. статью 1, гл. 2,
§ 4.2). Из однородности и автомодельности вытекает, что для
всякой ограниченной измеримой функции !(*{•)) на
Сца[0, Т] выполняется равенство

М^/(Е(-)) = Мо/?г,*/(£(■)),
где Жтх — математическое ожидание по мере Р£, а Ят,х/ (х (•)) =
= / (Рт,хХ(-)), Нт,х (*)=^У Т х(^~^А-х — измеримое отображение
С а [0, 1] в С а[0, Т]. Меру Р^ на С й [0, 1] обычно и называют

винеровской мерой. Эту меру будем обозначать цк, а интегра-
лы по ней Х/^ри,-. Она определяется своими интегралами на
цилиндрических функциях: если Ф(х\, . . . , хп) —измеримая
числовая функция на (Яа)п и

/ф (*„..., х(-)) = Ф(х(Ь),...,х (О),

где 0 = /0<^1< • • ■ </п^1, это цилиндрическая функция с ос-
нованием {/ь . . . , ^„}, тогда, считая х0=0, имеем

- П (2я (*. - <,-,»" Ц ■ ■ ■ I «Ч> { Ч | ^Е^) ><

ХФ(*ь- • •, -Кл)^. . .йхп. (31)

Аппроксимация непрерывных функций цилиндрическими поз-
воляет использовать формулу (31) для вычисления интегра-
лов по винеровской мере с помощью предельного перехода.

Лемма 1. Пусть \{х( •)) — непрерывный ограниченный
функционал на Сл<*[0, 1]. Обозначим для 0=*0<*1< • • • <■
</и = 1 и 0=ха,хи . .. ,хп£Р,а через /(*ь ...,/„, *ь .... х„, /)
ломанную в [0, 1]ХР<г с вершинами (^; л;4). Тогда

я

\f{x{-))d\iw~ lim U(2n(tk-tk_1)rmX

X^..^exp|-42!?~^|2}/(/^'---^"' ль...,^„, -))X

X^i... (32)

Доказательство. Под знаком предела стоит

^ / (/ (*!,. ..,*„, x{tx),..., x(tn), -))d\yw

и при max для всех x{-)£CRd [0, 1]

f(l{h,..-,tn, x(tx),... ,x(tn), -))-*-f(x(-)). Поэтому утвержде-
ние леммы вытекает из теоремы Лебега. □

3.2. Стохастический интеграл- Нам понадобится интеграл
1

вида §(f(w(t)), dw(t)), где / (х) — достаточно гладкая функция

о

из Rd в Rd. Это частный случай стохастического интеграла по
винеровскому процессу. Рассмотрим подробно случай d=\.