Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
8. Существует движение, отображающее угол hk в угол kh, причем внутренние области обоих углов совпадают (т. е. угол отображается сам в себя, но его стороны h и k отображаются взаимно друг в друга).
Замечание. В курсах оснований геометрии часто предпочитают в качестве основного понятия брать не движение, а понятие равенства (или конгруентность), так как система аксиом при этом оказывается более удобной с точки зрения требований минимальности. Движение определяется на основе понятия равенства как точечное преобразование, при котором фигура отображается в равную ей фигуру. Система аксиом, приведенная в дополнениях к учебникам Киселева и Глаголева, заимствована из такого рода курсов.
Для обозначения движения будем употреблять букву / с различными индексами. Запись
/ (F) = F'
означает, что при движении / фигура F отображается в фигуру F'.
Тождественное движение будем обозначать через /0; для обозначения движения, обратного движению /, будем употреблять символ Следовательно, если
f(A) = А', то
/~! (A') = А.
24
Отсюда следует, что / в свою очередь является обратным движением для /-1, т. е.
(/-')-'= /•
Если Z1 — первое движение, а /2 — второе, то их произведение / запишем так: / = /2/х.
Запись Д/2 будет означать, что теперь первым движением является /2, а вторым Z1.
Из определения обратного движения следует, что
/-'/=//-'=/о-
§ 8. Равенство фигур
На основе понятия движения определим равенство фигур. Фигура F' называется равной фигуре F, если существует движение f, отображающее FeF'. В этом случае будем писать, что F' = F.
Из данного определения и аксиом движения вытекают следующие свойства равенства фигур.
I. Каждая фигура равна самой себе. Это свойство следует из существования тождественного движения, при котором F = /o(F).
П. Если фигура F1 равна фигуре F, то, обратно, F равна F'.
По условию F' = F. Следовательно, существует движение /, при котором F' = /(F). По свойству 4 (§ 7) существует движение при котором F = f-l(F'). Отсюда:
F = F'.
III. Если фигура F1 равна фигуре F2, а фигура F2 равна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 равны.
По условию существуют движения Z1 и /2, при которых
= Zi(^i) и F3 = Z2(F2). Произведение движений /2/х преобразует F1 в F3. По свойству 3 (§ 7) это произведение есть движение. Значит, F3 = F1.
Все, что сказано о равенстве фигур, относится, конечно, к отрезкам и углам. Докажем теперь следующую важную теорему.
Теорема. Пусть задан отрезок PQu пусть на прямой а дана точка А. Тогда на прямой а по данную сторону от точки А существует единственная точка В, такая, что AB = PQ.
25
Доказательство. Пусть а и ja — полуплоскости, ограниченные соответственно прямыми PQ и а, и пусть / — луч прямой а, выходящий из точки А и проходящий через точки, лежащие по заданную сторону прямой а (черт. 18). По свойству 6 (§ 7) существует движение /, при котором луч PQ отображается в луч /, а полуплоскость л— в полуплоскость jx. Точка P при этом движении отобража-
Черт. 18
ется в точку А, а точка Q отображается в некоторую точку В луча /, отрезок PQ отобразится в отрезок AB. Следовательно, AB = PQ.
Из свойства движений 5 следует, что при всяком другом движении, при котором луч PQ отображается в луч /, отрезок PQ отобразится в тот же отрезок AB.
Рассмотрим теперь движение /', при котором луч QP отображается в луч /. Точка Q при этом движении отображается в точку Л, а точка P — в некоторую точку В'\ отрезок QP, следовательно, отражается в отрезок AB'. По свойству движений 7 существует движение при котором отрезок PQ отображается в отрезок QP. Произведение движений /'/" отображает луч PQb луч /, а отрезок PQ — в отрезок AB'. Как выяснено выше, отрезок AB' совпадает с отрезком AB. Теорема доказана.
Можем сказать в силу доказанной теоремы, что на любой прямой от любой ее точки мы всегда можем отложить в данном направлении отрезок, равный данному, и притом единственным образом.
Если С — внутренняя точка отрезка AB1 то отрезок AC представляет часть отрезка AB. Из теоремы следует, что никакой отрезок не может быть равен своей части.
26
Рассмотрим теперь неравные отрезки, т. е. такие, которые не отображаются друг в друге при помощи движений.
Будем говорить, что AB меньше CD (AB<.CD) или, что CD больше AB (CD> A B)1 если на отрезке CD существует точка E1 такая, что AB = СЕ.
Можно доказать, что:
1) из двух неравных отрезков всегда один и только один больше другого;
2) если AByCD1 a CD у EK, то AB у EK (свойство транзитивности).
Теорема. На любом отрезке AB существует единственная точка C1 такая, что AC = СВ.
Теорема легко вытекает из свойств движения. По свойству 7 (§ 6) существует движение /, при котором отрезок AB отображается в отрезок BA1 а на отрезке AB существует единственная точка C1 отображающаяся сама в себя. Тогда отрезок AC отображается в отрезок CB1 т. е. AC = СВ.
Существуют два движения, отображающие ^ (h, k) сам в себя: тождественное движение и движение, при котором лучи hu k отображаются взаимно друг в друга. Следовательно, ^ (h, k) = ^(k, К), если оба эти угла выпуклы или если оба они невыпуклы.
