Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы будем опираться на тот материал школьного курса геометрии, который достаточно обоснован в нем. Сюда, в частности, относятся различные предложения о треугольниках и четырехугольниках.
§ 10. Окружность
Совокупность всех точек плоскости, для которых отрезки, соединяющие их с данной точкой плоскости O1 равны между собой, называется окружностью. Точка О — центр окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называется радиусом.
Окружность с центром О и радиусом R будем в дальнейшем обозначать символом О (R).
Две точки окружности А и В делят все остальные точки окружности на два класса:
первый класс — все точки, которые лежат внутри угла АОВ;
второй класс — все точки, которые лежат вне угла AOB.
Каждый из этих классов вместе с точками А и В называется дугой окружности. В дальнейшем дугу окружности будем называть дугой. Дугу окружности с концами А и В будем обозначать так: AB.
Точка плоскости называется внешней точкой окружности, если отрезок, соединяющий ее с центром окружности, больше радиуса; точка плоскости называется внутренней точкой окружности, если указанный отрезок меньше радиуса. Центр окружности относится к внутренним точкам ее.
Очевидно, что все окружности с равными радиусами равны между собой.
33
Аксиома 1. Если один конец отрезка является внутренней точкой окружности, а другой — внешней точкой ее, то отрезок имеет с окружностью общую точку.
Аксиома 2. Если один конец дуги лежит внутри окружности, а другой — вне ее, то дуга имеет с окружностью общую точку.
Теорема. Прямая не может иметь с окружностью более двух общих точек.
Проведем доказательство методом от противного. Пусть три различные точки A1 В и С принадлежат прямой а и окружности О. Точка О лежит вне прямой, так как иначе на прямой а от точки О были бы отложены три различных и равных отрезка, что невозможно (§ 8). Пусть на прямой а точка В лежит между точками Л и С (черт. 24).
Черт. 24 Черт. 25
Треугольники AOB1 BOC1 и AOC — равнобедренные. Отсюда следует равенство углов этих треугольников: ^ OAB = ^OBЛ; ^ OAC = ^OCA.
Отсюда OBA = ^lOCA1 что противоречит теореме о внешнем угле треугольника.
Рассмотрим прямую а и окружность О. Проведем через центр окружности О прямую 6, перпендикулярную к прямой а. Такая прямая, как доказано выше, единственная. Пусть H — точка пересечения прямых b и а. Легко видеть, что отрезок ОН меньше отрезка, соединяющего центр окружности с любой другой точкой прямой а. Пусть R — радиус окружности. Возможны три случая.
1. Если ОН > R1 то отрезок, соединяющий центр О с любой точкой прямой, больше R. Все точки прямой лежат вне окружности. Мы говорим, что прямая и окружность не пересекаются.
2. Если ОН = R1 то отрезок, соединяющий центр О с любой другой точкой прямой а, будет больше ОН. Следовательно, прямая и окружность имеют единственную общую
34
точку Я. Мы говорим, что прямая касается окружности в точке Н.
3. Пусть теперь ОН < R. Отложим на прямой по разные стороны H отрезки НА и HB1 равные радиусу окружности R (черт. 25). Из прямоугольных треугольников ОНА и OHB следует, что OA > НА и OB > HB1 т. е. OA > R и OB > R. Из аксиомы 1 следует, что на каждом из этих отрезков существует точка окружности. Следовательно, прямая а имеет с окружностью в этом случае две общие точки PhQ. Мы говорим, что прямая пересекает окружность в этих точках. Легко доказать, что все внутренние точки отрезка PQ лежат внутри окружности, а точки прямой, лежащие вне его, лежат также вне окружности. Отсюда, далее, следует, что окружность делит плоскость на две области: внутреннюю, состоящую из внутренних точек окружности, и внешнюю, состоящую из внешних точек ее; внутренняя область является выпуклой, а внешняя нет.
Окружность вместе с ее внутренней областью называется кругом.
Методом доказательства от противного легко установить справедливость обратных предложений:
1. Если прямая не пересекает окружность, то ОН > R1
2. Если прямая касается окружности, то ОН = R.
3. Если прямая пересекает окружность, то ОН < R.
Пусть даны окружности O1 (R1) и O2 (R2)\ отрезок O1O2, соединяющий их центры, обозначим через d. Кроме того, для определенности будем считать, что R1 > R2.
Исследуем различные возможные случаи взаимного расположения этих окружностей в зависимости от d.
§11. Две окружности
1. d> R1 + R2 (черт. 26).
О, № O2
Черт. 26
36
Черт. 27
Пусть M1 — произвольная точка первой окружности. Так как O2M1 > O1O2 — O1M1, то O2M1 > (^1 + + R2) — R1; O2M1 > R2. Любая точка первой окружности лежит вне второй. Точно так же докажем, что любая точка второй окружности лежит вне первой.
Окружности не имеют общих точек, и всякая точка одной из них лежит вне другой.
2. Ci = R1 +R2 (черт. 27).
На отрезке O1O2 возьмем точку M0 так, что O1M0 = ^1. Тогда O2M0 = R2 и M0 — общая точка двух окружностей. Как и в первом случае, докажем, что любая другая точка одной окружности лежит вне другой.
Окружности, имеющие одну и только одну общую точку, называются касающимися. В рассматриваемом случае мы имеем внешнее касание двух окружностей.
