Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. Ю
Рассмотрим теперь две пересекающиеся в точке О прямые а и 6, лежащие в плоскости а (черт. 10). Пусть прямая а делит плоскость а на области P и Q, а прямая Ь — на области RuS. Пусть, далее, h и W — взаимно дополнительные лучи прямой а, исходящие из точки О, a k и k! — взаимно дополнительные лучи прямой Ь, исходящие из той же точки. Выберем обозначения так, чтобы лучи A, h\ k и W (кроме общего начала О) принадлежали соответственно областям P и Q. Так как каждая из этих областей выпукла, то их пересечения
T = PXR, T = PXS, Т" QX R и Т" = QXS
по доказанной в § 4 теореме являются выпуклыми фигурами.
15
Рассмотрим фигуру F, представляющую соединение лучей h и k. Все точки плоскости, не принадлежащие F1 разобьем на два класса: к первому классу отнесем пересечение T = P X R, ко второму классу T1 отнесем остальные точки. Класс T1 представляет соединение областей Q и S. Можно также считать его соединением пересечений T1 Т", V" и лучей К и К без их начала О.
Если Л и В — точки на лучах h и k, не совпадающие с точкой O1 то все внутренние точки отрезка AB принадлежат классу Т. Точки прямой AB1 лежащие вне отрезка AB1 принадлежат пересечениям Г и Г", т. е. классу T1. Если взять на прямой AB одну точку из пересечения T', а другую из пересечения V1 то отрезок, соединяющий их (на чертеже А'В'), содержит все точки отрезка AB. Следовательно, класс T1 не является выпуклой фигурой.
В силу выпуклости класса T любые две точки его можно соединить отрезком, принадлежащим этому классу. Любые две точки класса T1 можно соединить ломаной, целиком принадлежащей ему. Если, например, таковыми являются точки А' и В'', то ломаная А'С'В', где точка CCV1 принадлежит T1 (отрезок Л'С GS, а отрезок С В' CQ).
Отрезок, соединяющий точку M класса T с точкой N класса T11 или пройдет через точку O1 или пересечет один из лучей h и k. В этом легко убедиться, рассматривая различные положения точек M и N.
Налицо все условия, в силу которых мы имеем право сказать, что фигура F делит плоскость а на две области T и T1. Очевидно, что F может представлять соединение двух любых лучей, исходящих из одной точки и не принадлежащих одной прямой. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема. Совокупность двух лучей, выходящих из одной точки и не принадлежащих одной прямой, делит плоскость, в которой они лежат, на две области, из которых одна выпуклая, а другая нет.
Соединение данной совокупности лучей вместе с одной из указанных областей назовем углом. Общее начало лучей назовем вершиной угла, а сами лучи — сторонами его (черт. 11). Угол со сторонами h и k будем обозначать символом (A, k). Будем употреблять также обозначения угла, принятые в школьном курсе.
Таким образом, совокупность двух лучей, выходящих из одной точки, определяет два угла. Область плоскости,
16
принадлежащая углу, называется внутренней его областью, вторая область, не принадлежащая углу, называется внешней областью угла. Если относительно внутренней области угла нет специальных указаний, то за таковую принимается выпуклая область.
Черт. 11 Черт. 12
Вернемся к чертежу 10. Соединением прямой а с областью P является полуплоскость X, а соединением прямой Ь с областью R — полуплоскость Пересечение полуплоскости X и {х, очевидно, представляет (h, k) с внутренней областью Т. Отсюда следует, что угол, внутренняя область которого выпукла, является выпуклой фигурой.
Если лучи h и k являются взаимно дополнительными, то соединение их представляет прямую и поэтому делит плоскость, которой они принадлежат, на две выпуклые области. В этом случае соединение лучей h и k и одной из этих областей называют развернутым углом. Развернутый угол, следовательно, представляет полуплоскость, ограниченную соединением двух взаимно дополнительных лучей (черт. 12).
Если лучи h и k совпадают, то их соединение F представляет собой луч h. В этом случае фигура F не делит плоскость на области. В целях общности выводов принято называть соединение совпавших лучей h и k с плоско-
стью, которой они принадлежат, полным углом. Внутренней ерт'
областью полного угла является
вся плоскость без точек лучей h и k (черт. 13).
17
§ 6. Многоугольник
Прежде чем дать определение многоугольника, примем следующую аксиому.
А к с и ома. Простая замкнутая ломаная (§ 4), принадлежащая плоскости, делит все ее точки, не принадлежащие ломаной, на две области; существуют прямые, целиком принадлежащие одной области, и не существует лучей, целиком лежащих во второй области. Первая из этих областей называется внешней, а вторая — внутренней относительно данной ломаной.
Плоская простая замкнутая ломаная вместе с внутренней областью, определяемой ею, называется многоугольником.
Точки внутренней области называются внутренними точками многоугольника (черт. 14). Вершины и стороны
лучи этой прямой, выходящие из точки М. Каждый из них пересечет в силу аксиомы контур данного многоугольника. Следовательно, точка M будет лежать на отрезке прямой а, целиком принадлежащем данному многоугольнику и имеющем концы на контуре его. Этим доказана следующая теорема.
