Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем выяснить свойства движения, дадим определение точечного преобразования.
Пусть при помощи какого-либо правила или закона каждой точке А фигуры F ставится в соответствие определенная точка А'. Будем говорить в этом случае, что мы имеем точечное преобразование, при котором точка А отображается в точку А'. Совокупность точек А образует фигуру F'Будем говорить, что фигура F при этом преобразовании отображается в фигуру F'.
Пусть вслед за преобразованием 1, при котором точка А отобразилась в точку А\ совершено преобразование 2, при котором точка А' отобразилась в точку А". В результате
21
мы получаем новое преобразование 3, при котором точка А отобразилась в точку А". Это преобразование 3 называется произведением преобразования 1 на преобразование 2.
Определение точечного преобразования допускает, что различным точкам фигуры F может соответствовать одна точка фигуры F'. В дальнейшем особый интерес для нас будут представлять взаимно однозначные точечные преобразования.
Точечное преобразование называется взаимно однозначным, если при нем любые две различные точки AuB отображаются в различные точки А' и В'.
Для любого взаимно однозначного точечного преобразования, при котором произвольная точка А отображается в точку А\ можно установить новое точечное преобразование, при котором точка А' отображается в точку А. Это цовое преобразование является тоже взаимно однозначным и называется обратным по отношению к первому преобразованию.
При точечном преобразовании отдельные точки могут отображаться сами в себе. В целях общности рассматривается преобразование, при котором каждая точка отображается сама в себя. Такое преобразование называется тождественным.
Произведение взаимно однозначного преобразования на обратное по отношению к нему преобразование отображает каждую точку самое в себя и поэтому является тождественным преобразованием.
Перейдем теперь к выяснению свойств основного понятия «движения».
Мы принимаем аксиоматически существование особого рода точечных преобразований, называемых движениями и имеющих следующие свойства:
1. При движении прямая отображается в прямую, а плоскость — в плоскость.
Примечание. Прямую и плоскость при этом мы рассматриваем как фигуры, т. е. как совокупности точек (§ 4).
2. Если точка С лежит между точками А и В (§ 3) и при движении эти точки отображаются соответственно в точки С, А' и В', то С лежит между Аг и В'.
Отсюда следует, что упорядоченное множество точек прямой а отображается в упорядоченное множество точек соответствующей прямой а'.
22
3. Произведение двух любых движений есть движение. Легко видеть, что при движении различные точки А и В отображаются в различные же точки А' и В'. Действительно, если бы точки А' и В' совпадали, то точка C1 лежащая между А и B1 не могла бы отобразиться в точку С', лежащую между Аг и В', что противоречит свойству 2. Следовательно, движение является взаимно однозначным точечным преобразованием и поэтому для каждого движения существует обратное преобразование.
4. Преобразование, обратное движению, есть движение. Следствие. Тождественное преобразование есть
движение (тождественное движение).
Действительно, произведение движения на обратное по отношению к нему является движением (свойство 3) и в то же время тождественным преобразованием.
Из перечисленных свойств вытекает, что каждое движение отображает отрезок в отрезок, луч в луч, полуплоскость в полуплоскость и угол в угол. (Доказательство этих очевидных предложений опускаем.)
5. Пусть при некотором движении луч h отображается в луч h'. Тогда при всяком другом движении, отображающем луч h в тот же луч h', точки луча h отображаются в те же точки луча h', что и при данном движении.
В частности, луч h отображается сам в себя при тождественном движении. Следовательно, любое движение, отображающее луч h сам в себя, отображает каждую точку этого луча самое в себя.
Из свойства 5 следует также, что если при некотором движении отрезок AB отображается в отрезок А'В', тоипри всяком движении, отображающем луч AB в луч А'В', отрезок AB отображается в тот же отрезок А'В'.
6. Всегда существует движение и притом единственное, при котором полуплоскость \ ограниченная прямой а,
Черт. 17
23
отображается в другую заданную полуплоскость V, ограниченную прямой а', причем луч h прямой а, выходящий из точки О, отображается в заданный луч К прямой а', выходящий из точки Ог (черт. 17).
Мы можем на основе свойства 6 сказать, что движение полностью определено, если известно, что точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, отображаются при этом движении в точки A', В' и С. Действительно, при указанном движении полуплоскость, ограниченная прямой AB и содержащая точку С, отображается в полуплоскость, ограниченную прямой А' В' и содержащую течку С, а луч AB отображается в луч А'В'. Налицо условия, согласно которым мы утверждаем единственность движения.
7. Существует движение, отображающее отрезок AB в отрезок BA (концы отрезка AB отображаются взаимно друг в друга); при указанном движении на отрезке AB существует единственная точка С, отображающаяся сама в себя.