Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если центры трех окружностей не лежат на одной прямой, то существует единственная точка плоскости, степени которой относительно этих окружностей одинаковы.
Эта точка называется радикальным центром трех данных окружностей.
Через радикальный центр трех окружностей проходит радикальная ось любой пары этих окружностей.
Задача. Построить радикальную ось двух непересекающихся окружностей Oi и Ог (черт. 120).
Возьмем окружность Оз, пересекающую окружности Oi и Ог. Центр ее выберем так, чтобы он не лежал на прямой О1О2. Строим затем радикальные оси /із и /гз. Через точку пересечения P (радикальный центр) пройдет искомая радикальная ось /і2. Таким же путем можно получить другую
ТОЧКУ ОСИ /і2.
Задача. Построить окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
Дано: прямая MN, точка А на ней и окружность О (черт. 121).
Требуется построить окружность X, касающуюся окружности О и прямой MN в точке А.
Анализ. Пусть X — искомая окружность. Центр ее X лежит на прямой XA, перпендикулярной данной прямой MN. Возьмем произвольную окружность О', касающуюся прямой MN в точке А, и построим радикальную ось CD окружностей О и О'. Так как прямая MN является ради-
Черт. 120
Черт. 121
129
кальной осью окружностей О' и X1 то точка пересечения прямых MN и CD (точка P) является радикальным центром окружностей О, О' и X. Пусть T — точка касания окружностей О и X. Общая касательная этих окружностей, проходящая через точку Т, является их радикальной осью и проходит через точку Р.
Построение. Проводим прямую AB1 перпендикулярную прямой MN, на ней берем произвольную точку О' и проводим радиусом О'А окружность с центром в этой точке. Строим радикальную ось окружностей О и О' (для этого удобно взять окружность О' такой, чтобы она пересекала окружность О) и строим точку Р, в которой она пересекается с прямой MN. Далее, строим окружность радиусом PA из центра P и точки пересечения T и T' ее с окружностью О. Проводим прямую ОТ и строим точку X1 в которой она пересекается прямой АВ. Наконец, строим окружность с центром X и радиусом XA. Эта окружность является искомой.
Аналогичное построение, проведенное для точки T', дает вторую окружность, которая также даст решение задачи (окружность X').
Доказательство. Так как прямая MN является радикальной осью окружностей X и О', то P — радикальный центр окружностей O1 X и О'. Степень его относительно каждой из этих окружностей равна PA2. Точка P лежит вне окружностей О' и X. Значит, эта точка лежит также вне окружности О. Степень P относительно окружности О равна PT2 (так как PT=PA). Отсюда следуем, что PT— касательная к окружности О в точке Т. Прямоугольные треугольники PTX и PAX равны, так как имеют общую гипотенузу PX и равные катеты PT и РА. Отсюда XT = = XA. Значит, окружность X проходит через точку Т, которая лежит на линии центров OX1 и поэтому окружности О и X касаются в этой точке. Кроме того, из построения следует, что окружность X касается прямой MN в точке А. Итак, X — искомая окружность.
Исследование. Если центр окружности О не лежит на прямой AB1 то радикальная ось окружностей О и О' пересекает прямую MN в некоторой точке Р, которая лежит вне окружности О' и поэтому также вне окружности Or Следовательно, из точки P всегда можно провести касательные PT и PV к окружности О. Если окружность О при этом не касается прямой MN1 то имеем два решения — ок-
130
ружности X и X'. Если же MN — касательная к окружности О, то точка T (или T) лежит на MN1 прямая T'O Il AB и окружность X вырождается в прямую MN.
ЕСЛИ Центр ОКРУЖНОСТИ О ЛЄ- 0|
жит на прямой AB и окружность О не касается прямой MN, то радикальная ось окружностей О и О' параллельна MN и данное построение не применимо (черт. 122). В этом случае имеем два решения — окружности, диаметрами которых являются отрезки прямой AB отточки А до точек пересечения этой прямой с данной окружностью О.
Если окружность О касается прямой MN в точке А, то 122 решений будет бесконечное множество. Любая окружность, касающаяся прямой MN в точке Л, отвечает условиям задачи.
§ 45. Окружность Аполлония
Возьмем на отрезке AB точку M (черт. 123). Ею отрезок AB разделится на две части в отношении AM : BM. На прямой AB найдем такую точку N9 лежащую вне отрезка AB, чтобы
AN _ AM _х BN ~ BM ^ '
Черт. 123
Для построения точки N проведем под некоторым углом к AB прямую AE, на которой отложим отрезок AE = AMl и отрезок EF = BM, так, чтобы точки F и А лежали по одну сторону от точки Е.
131
Проведем прямую BF и через точку E — прямую, параллельную BF. Пусть вторая прямая пересечет AB в точке N. Тогда
AN _ AE _ AM BN ~~ EF ~ BM'
Следовательно, точка N—искомая.
Будем говорить, что точка M делит отрезок AB внутренним образом, а точка делит этот же отрезок внешним образом в одном и том же отношении.
Если AM > BMy то AN > BN и точка В лежит между точками А и N. При AM < BM, как легко видеть, точка А лежит между точками В и N. Если же AM = BM, то, очевидно, точка N не существует.
