Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда вытекает следующий способ построения общих касательных к двум окружностям: строим указанным выше способом центр подобия их и из него проводим касательную к одной из данных окружностей.
§ 38. Произведение гомотетий
Теорема. Результат последовательного выполнения двух гомотетий с общим центром есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом, равным произведению коэффициентов данных гомотетий.
Ill
Первая гомотетия Cp1 задана центром S и коэффициентом A1, вторая гомотетия ср2 задана центром S и коэффициентом A2. Обозначим результирующее преобразование через ср:
<Р = ?2 Tl-
Рассмотрим произвольную точку M (черт. 104, а, б). Для нее получим:
Cp1 (M) = M11 ср2 (M1) = M21
*M±-\k\ ™i-\k\ SM - I*1»« SM1 ~ lA2>-
Отсюда:
/л>гч ят 5M2 SM2 SM1 ,» , і і*. у , ,
ср (M) = M21 SA^ = JJVT1' SW = \k*kl\ = I*'' где k = k*kl' Точка 5 остается неподвижной, точки M1 и M2 лежат на прямой SM. Легко также видеть, что при А > О точки M2
—і- ¦ і-і— —і ¦-1-1—
M2 S M M1 M1 S M M2
КгЗ. к2=-0.5>K=K2K,--U5 к,=-3/4.K2=-3. к*к2к,=№
а) 6)
Черт. 104
и M лежат по одну сторону otS, а при А < О эти точки лежат по разные стороны от S.
Отсюда следует, что преобразование ср есть гомотетия с тем же центром S и коэффициентом А.
Заметим, что в рассматриваемом случае произведение гомотетий перестановочно, т. е. ср2 Cp1 = Cp1 ср2.
Теорема. Результат последовательного выполнения двух гомотетий с разными центрами в случае, если произведение их коэффициентов отлично от единицы, есть гомотетия с коэффициентом, равным произведению коэффициентов данных гомотетий, и центром, лежащим на прямой, соединяющей центры данных гомотетий.
Пусть первая гомотетия Cp1 задана центром S1 и коэффициентом A1, а вторая гомотетия ср2 задана центром S2 и коэффициентом A2, причем А = A2 A1 Ф 1.
Обозначим результирующее преобразование через ср:
ср = ср2 Cp1.
Рассмотрим произвольный вектор AB и подвергнем его преобразованию ср (черт. 105).
112
Cp1 (AB) = A1B11
ср (AB) = A2B2.
Вектор AB сначала отобразится в вектор A1B11 а затем вектор A1B1 отобразится в вектор A2 B2.
Если k >0, то либо все векторы AB1 A1B1 и A2B2 одинаково ориентированы (при ^!>0и^2> 0), либо вектор A2B2
ориентирован противоположно вектору AB и вектору A2B2 (при &х < 0 и k2 < 0). В обоих случаях ориентация векторов AB и A2B2 одинакова.
"г
Черт. 105
Черт. 106
Если k < 0 (при H1 < 0 и k2 > 0 или при > 0
и k2 < 0), то вектор Л^ или одинаково ориентирован с
вектором AB и противоположно с вектором A2B21 или
наоборот. В обоих случаях векторы AB и A2B^ ориентированы противоположно. Далее, находим:
^2^2 _ A2B2 A1B1_., , і_J у J
AB - A1B1 * AB —la2«i| —|«|.
Так как ? 1, то векторы ЛS и Л2В2 не могут быть равными по величине при одинаковой ориентации. Поэтому мы можем задать гомотетию двумя парами соответственных точек A1 A2 и B1 B21 коэффициентом этой гомотетии в силу проведенного исследования будет число k.
из
Рассмотрим теперь произвольную точку М. Для нее получим:
Cp1 (M) = M1, ср2 (M1) = M2, ср (M) = M2;
AM у ^Af1 у Л2М2, BM Il S1M1 Il S2M2.
Чтобы получить точку M2, надо через точки A2 я B2 провести прямые, паралле;ьные AM и SM, и построить точку их пересечения. Но таким же путем мы будем строить точку, гомотетичную точке M при заданной выше гомотетии. Следовательно, преобразование ср является гомотетией, заданной двумя парами соответственных точек — Л, A2 и В, B2.
Найдем теперь центр этой гомотетии. Рассмотрим для этого вектор AS1 (черт. 106). При гомотетии Cp1 он отображается в вектор Л!•S1 (A1 лежит на прямой AS1), гомотетия ср2 отображает вектор A1S1 в вектор A-2S\, причем точка S\ лежит на прямой S1S2.
Гомотетия ср отображает, следовательно, вектор A^S1
в вектор A2S\, центр ее S лежит на пересечении прямых AA2 и S1 S\, т. е. на прямой S1S2. Итак, теорема доказана полностью.
Что же произойдет, если k = k2kx = 1? В этом случае векторы AB и A2 B2 оказываются равными и одинаково ориентированными. Значит, векторы смещения точек Л и В,
т. е. векторы AA2 и SS2, будут равны и одинаково ориентированы.
Тоже можно сказать про любые другие точки, например,
про векторы смещения точек Л и М, так как векторы AM
и A2M2 будут тоже равны между собой и одинаково ориентированы. Следовательно, преобразование ср при k = 1 яв л яется пер еносом.
Следствие. Шесть центров подобия трех попарно неравных окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, располагаются по три на четырех прямых (черт. 107).
Даны попарно неравные окружности O1, O2 и O3, причем центры их не лежат на одной прямой. Построим внеш-
114
ниє и внутренние центры подобия для каждой пары окружностей, обозначая их буквами SnJc соответствующими индексами.
Пусть гомотетия Cp1 отображает окружность O1 в окружность O2, а гомотетия ср2 — окружность O2 в окруж-
ность O3. Тогда гомотетия ср = ср2 Cp1 отобразит окружность O1 в окружность O3. Возможны четыре случая:
