Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
143
одной окружности, так как этой окружности будет соответствовать прямая, на которой будут лежать точки Л', В' и С\ Отсюда вытекает следующее предложение: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон его.
В частности, четырехугольник PABC может выродиться в треугольник РАС, в котором Черт. 134 проведен отрезок PB, соединя-
ющий вершину P с точкой B1 лежащей на стороне AC (черт. 134). Для этого случая имеем:
PB . AC < PA - ВС + PC . АВ.
Если AB = ВС = ^ АС, то получим PB <-^- (PA +PC),
т. е. медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон его, проведенных из той же вершины.
§48. Основное свойство инверсии
Рассмотрим две пересекающиеся окружности O1 и O2 (черт. 135). Через точку их пересечения А проведем к ним касательные. Из образованных при этом углов возьмем тот, который не превышает прямого угла, и назовем его углом между данными окружностями. Будем также говорить, что окружности пересекаются в точке Л под построенным таким образом углом. Легко видеть, что в другой общей точке В окружности O1 и O2 Черт. 135
пересекаются под таким же по величине углом.
Так как две касающиеся окружности в точке касания имеют общую касательную (две касательные слились в одну прямую), то будем считать, что угол между такими окружностями равен нулю (черт. 136).
144
Окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. В § 46 был дан пример таких окружностей.
Углом между окружностью и пересекающей ее прямой назовем тот из углов, образованных данной прямой и касательной к окружности, проведенной через точку их пересечения, который не превышает прямого угла (черт. 137).
Черт. 136 Черт. 137
Легко видеть, что величина этого угла не зависит от выбора точки пересечения окружности и прямой. Будем говорить также, что прямая и окружность пересекаются под указанным выше углом.
Будем считать для общности, что окружность и касающаяся ее прямая пересекаются под нулевым углом.
Окружность и пересекающую ее прямую назовем взаимно ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.
Черт. 138
145
Теорема (основное свойство инверсии). Величина угла между двумя пересекающимися линиями не изменяется при инверсии.
Замечание. Под линиями здесь мы будем понимать окружности и прямые. Однако высказанное свойство имеет место для произвольных линий.
Доказательство начнем с рассмотрения случая, когда пересекающимися линиями являются окружность O1 не проходящая через центр инверсии P1 и прямая PM1 проходящая через него (черт. 138).
При инверсии прямая PM отображается сама в себя, а окружность О в окружность O1 (центры окружностей О и O1 не являются взаимно обратными точками). Пусть прямая PM пересекает окружность О в точках А и B1 в которых образует с ней углы / и 2. Тогда эта прямая пересечет окружность O1 в точках А' и S', соответственно инверсных точках А и B1 и образует с ней углы 3 и 4. Как было показано выше (§ 47), две взаимно обратные окружности можно рассматривать как гомотетичные фигуры, причем центром гомотетии является центр инверсии Р. Точкой, гомотетичной точке A1 является точка В'. Так как в гомотетичных фигурах соответственные углы равны, то ^ 1 = ^i4. Но ^.4 = ^3. Отсюда^ / = ^:3, что и требовалось установить.
Пусть теперь пересекающимися линиями будут две прямые — KL и PM1 из которых одна проходит через центр
инверсии P (черт. 139). Тогда прямая KL отобразится в окружность О, проходящую через центр инверсии P, прямая PM — сама в себя, а точка пересечения данных прямых А— в точку А\ в которой пересекаются прямая PM и окружность О. Углу / между данными прямыми соответствует Черт. 139 угол 2, образованный при пе-
ресечении в точке А' прямой PM с окружностью О. Проведем PB JL KL. Так как PB проходит через центр окружности O1 то касательная CD к этой окружности, проходящая через точку P1 параллельна данной прямой KL. Поэтому PM образует с прямыми CD и KL равные внутренние накрест лежащие углы: 3 = .
146
Так как ^.3 = ^2, то ^ 2 = , что и требовалось установить.
Рассмотрим теперь произвольные линии Ki и K2, пересекающиеся в точке А (черт. 140). Взаимно обратные им линии К'і и К'2 пересекаются в точке Л', инверсной точке А. Поэтому прямая РА, проходящая через центр инверсии, пройдет также и через точку А\ Так как углы прямой PA с линиями Ki и К\ и соответственно с линиями K2 и К\ равны, то отсюда следует равенство углов между линиями Ki и K2 и линиями К'і и К'2. Например, для случая, пред-
Черт. 140
ставленного чертежом, прямая PA образует с линиями Ki и K'i равные углы, обозначенные цифрой /,ас линиями K2 и К\ равные углы, обозначенные цифрой 2. Угол между линиями Ki и K2—равен в данном случае разности углов / и 2. Этой же разности равен также угол между линиями К\ и K2.
Следствие. Касающиеся линии при инверсии отображаются в касающиеся линии.
§49. Задача Аполлония
Рассмотрим применение инверсии к решению некоторых задач на построение.
Задача. Построить окружность К, проходящую через данную точку А и касающуюся данных окружностей Ki и K21 не проходящих через точку А.
