Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, условиями а и б вектор PM' полностью определен, точка M' поэтому единственная. При изменении положения точки M на луче, выходящем из центра Р, длина PM увеличивается или уменьшается. Соответственно с этим уменьшается или увеличивается длина PMr. При
повороте вектора PM поворачивается соответственно вектор PAf'. Отсюда следует справедливость высказанного предложения.
Таким образом, инверсия представляет взаимно однозначное точечное преобразование (§ 7).
2. Если точке M при инверсии соответствует точка M', то точке M' при той же инверсии соответствует точка М.
Точки M и M' поэтому называются взаимно обратными или взаимно инверсными.
Отсюда следует, что преобразование, обратное данной инверсии, совпадает с этой инверсией.
Выясним геометрический смысл коэффициента инверсии k. Возьмем на луче PM отрезок PB, длина которого равна k. Из условия (б) следует:
PM - PM' = PB2,
или
PM _ РВ_ PB ~ PM''
Черт 125
Отрезок PB является средним пропорциональным между отрезками -г PM и PM' (черт. 125). Найдем точку, инверсную точке В:
PB . PB' = PB2.
Отсюда:
PBf = PB,
т. е. точка В' совпадает с точкой В. Точка В при инверсии отображается сама в себя. Назовем ее двойной точкой инверсии.
Если PM < PB, то PM' > PB, и наоборот. Поэтому
136
на каждом луче H1 выходящем из центра инверсии Р, находится единственная двойная точка.
Совокупность двойных точек инверсии образует окружность, называемую окружностью инверсии. Центром этой окружности является центр инверсии, а ее радиусом — отрезок PB1 длина которого равна k (черт. 125).
При инверсии окружность инверсии отображается сама в себя. Точке M1 лежащей внутри окружности инверсии (PM < PB), соответствует точка M', лежащая вне этой окружности (PM' > PB)1 и наоборот.
Инверсию обычно задают при помощи окружности инверсии. Точка M', обратная точке M1 определяется путем геометрических построений, связанных с пропорцией:
PM _R_ R ~ PM"
где R — радиус окружности инверсии. Дадим два таких построения.
1. Строим луч PM и точку B1 в которой он пересекается с окружностью инверсии (черт. 126). Берем произвольную точку С на окружности инверсии, не лежащую на прямой PM1 проводим луч PC и прямую MC Затем через точку В проводим прямую, параллельную прямой MC, и отмечаем точку пересечения ее с лучом PC (точка T). Тогда:
PM _ PC PB ~ PV
или
PM _ R R -~ PT'
Остается на луче PM построить точку Мг так, чтобы PM' = = PT.
2. После построения точки В берем произвольную точку С на окружности инверсии, проводим прямую CB и луч СМ. Затем строим луч CM', симметричный лучу CM относительно прямой CB (черт. 127). Точка М\ в которой он пересекает луч PM1 является искомой.
137
Черт. 127
Для доказательства рассмотрим треугольники PCM и PCM'. Они имеют общий угол при вершине Р. Кроме того, имеем:
PCM = PCB — ^MCB = = ^ PBC — ^ ВСМ' = ^РМ'С. Следовательно,
A PCM со A PCM'. Отсюда
PM _ РС_ PC ~ PM'
И PM - PM' = PC2 = R2.
Из подобия треугольников PMC и PCM' следует равенство углов:
PMC
PCM'.
Луч CM' можно построить, исходя из этого условия. Если, в частности, взять точку С так, что MC JL PB1 то прямая CM' будет касательной к окружности инверсии (черт. 128).
Если при инверсии фигура F отображается в фигуру Ф, то при той же инверсии фигура Ф отображается в фигуру F. Поэтому фигуры F и Ф называются взаимно обратными или взаимно инверсными.
Может оказаться, что фигу- ч j
pa F при инверсии отображается сама в себя. Будем называть ее в таком случае инвариантной фигурой относительно данной инверсии.
Инвариантной фигурой при инверсии является прямая, проходящая через центр инверсии, так как любая точка такой прямой отображается в точку этой же прямой (исключением является центр инверсии, который не имеет обратной точки). Сама окружность инверсии является также инвариантной фигурой.
Теорема. Окружность, проходящая через две взаимно обратные точки MuM', представляет инвариантную фигуру относительно данной инверсии (черт. 129).
138
Проведем из центра инверсии произвольный луч, пересекающий данную окружность в точках X и Y. Тогда (§42)
PX-PY = PM-PM' = R2.
Следовательно, любая точка X окружности отображается в точку Y этой же окружности. Этим теорема доказана.
Пусть TuS — точки пересечения данной окружности с окружностью инверсии. Так как это двойные точки, то лучи PT и PS не имеют с данной окружностью других общих точек, т. е. касаются ее. Отсюда следует перпендикулярность радиусов данной окружности и окружности инверсии, проведенных в точку пересечения этих окружностей. Такие окружности называются ортогональными.
Следовательно, окружность, проходящая через две взаимно обратные точки M и M', ортогональна окружности инверсии.
Замечание. Центр окружности О лежит, очевидно, вне окружности инверсии и отображается в точку О', лежащую внутри окружности инверсии.
Черт. 130
Пусть Л, Л' и В, В'—две пары взаимно обратных точек (черт. 130), не лежащие на одной прямой. Проведем
