Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
{Rh:R} ={Rh:R [x,\}• {R [X1]:R}, (25)
или
k1-k2-...-kh = q-n. (26)
Таким образом, степень неприводимой функции f(x) должна быть делителем произведения степеней, разрешающей цепочки функций.
Пусть теперь неприводимое уравнение f(x) = 0 разрешимо в квадратных радикалах. Тогда разрешающая цепочка состоит из функции второй степени
A1 = A2=... = kh = 2. (27)
Из (26) мы видим, что в этом случае число п, являясь делителем числа 2hy само должно быть степенью двойки:
п = 2Ш. (28)
!) Поле R5, являющееся алгебраическим расширением поля R и представляющее линейное многообразие некоторого порядка s относительно R является также линейным многообразием (низшего порядка) относительно всякого поля заключенного между R3 и R:
R3C tf*c R.
В самом деле, все элементы R3 выражаются линейно через элементы некоторого базиса аь а2,as с коэфициентами из R. Но так как каждый коэфициент из R принадлежит также R*, то Rs представляет собой линейное многообразие относительно /?*. Число линейно-независимых среди с1в a2»—> as относительно поля R* и есть степень расширения Rs относительно Я*.
3 А. Г. Школьник
33
Итак, для того чтобы неприводимое в R уравнение f (л) = О было разрешимо в квадратных радикалах необходимо, чтобы степень его была степенью двойки1).
Выведенное нами условие разрешимости является- необходимым, но, вообще говоря, еще недостаточным.
§ 4. ПОЛИНОМЫ ДЕЛЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАЗРЕШЕНИЯ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ УРАВНЕНИЯ — 1 = 0.
1. Установленное выше необходимое условие разрешимости неприводимого алгебраического уравнения в квадратных радикалах применить непосредственно к интересующему нас случаю двучленных уравнений не представляется возможным, потому что двучленные уравнения хп—1=0, имея корнем лг=1, всегда являются приводимыми.
Мы видели выше (§ 2,2), что для решения двучленного уравнения /г-й степени хп—1=0 достаточно найти хотя бы один из его ср(/г) * первообразных корней, все остальные корни получатся путем последовательного возвышения этого корня г в степень
г, г2,г71""1, гп=1.
Ввиду этого вопрос о решении двучленного уравнения можно свести к решению такого уравнения Фп (х) = 0 (уже не двучленного), которое своими корнями имело бы первообразные корни данного двучленного уравнения и только эти корни; ^тогда любой корень уравнения Фп(л;) = 0 давал бы решение двучленного уравнения.
Такое уравнение Фп (х) = 0, ввиду связи двучленных уравнений с задачей деления окружности, назовем уравнением деления окружности. Левую часть этого уравнения, мы будем называть полиномом деления окружности на п частей. Итак, полиномом деления окружности называется такой многочлен Фп(х), корнями которого служат все первообразные корни я-й степени из единицы (и только они). Очевидно, степень такого полинома должна быть ср (я). Мы покажем, что для всякого значения п (для всякого уравнения хп— 1=0) такой многочлен с рациональными (и даже целыми) коэфициентами всегда существует.
*) Отсюда, между прочим, вытекает, что известные задачи об удвоении куба и о трисекции угла невыполнимы помощью циркуля и линейки, так как степень соответствующих уравнений, к которым приводятся эти задачи: x3-2z0 и л:3 — Злг— & = 0 (неприводимость их в R доказывается без труда) не является степенью двойки.
34
В случае, когда степень двучленного уравнения есть число простое ру то все корни такого уравнения, кроме X = 1, первообразные. Поэтому, полином деления окружности в этом случае мы получим просто делением хр—1 на х—1:
фр <*>=4=т=xP~l+хР~2 +...+*+!• о)
Рассмотрим теперь случай, къгда степень двучленного уравнения есть степень простого числа: п = ра.
Так как р*"1 есть делитель числа /?а, то всякий корень урав-
а—1
нения хр — 1=0, очевидно, будет являться корнем уравнения хр"—1=0. С другой стороны, мы покажем, что всякий неперв.о-образный корень уравнения хр — 1=0 должен быть корнем уравнения хр* —1=0.
Все делители ра суть числа
1, р, р2,., P«-1.
Если ? — непервообразный корень уравнения хр — 1 = 0, то он принадлежит как к показателю к одному из написанного выше ряда чисел. Пусть г принадлежит к показателю р$ (?^oc—1), и сле-
довательно, является корнем (первообразным) уравнения хр — 1=0.
о «—1
Но так как р? есть делитель числа р , то ? будет являться также корнем уравнения хр" — 1=0. Таким образом, корнями урав-
а-1
нения хр — 1=0 служат все непервообразные корни уравнения
IX
хр — 1=0. Поэтому полином деления окружности на /?* частей
а сс—1
мы найдем, разделив хр —1 на д:р —1. Выполняя это деление, получаем:
Фра (х) = ^f-- = xp*~l (P-D +хр*~г <р-Ъ +...+ ^1 +1. (2) хр —1
В общем случае при произвольном п выражение для Фп (х) будет более сложным. Именно, мы покажем, что если
n = pa-qt-r(-s\.„ то полином деления окружности найдется по следующей формуле:
п_ п п п
(Л_ (*"—!) (jcw- \){xF— I)(A?7— 1) ... {xP"rs— 1)...
Ф„(*)=
(ХР— \){Х,1— 1) (Хг — \)...(ХР1Г— \){XP9S— 1)...
_nv*-i) ~П(^-і)
3* 35
(3)
В этом выражении числитель состоит из произведения двучленов вида xd*- — 1, где dx принимает значения, равные п и всем делителям числа п, получающимся от деления п на четное число простых чисел, входящих в состав п. Знаменатель же есть произведение всевозможных двучленов xd* — 1, где d2 — принимает значения, получающиеся от деления п на нечетное число его простых делителей1). Покажем справедливость формулы (3).
