Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Школьник А.Г. -> "Двучленные уравнения и задачи деления круга"

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.

Двучленные уравнения и задачи деления круга

Автор: Школьник А.Г.
Издательство: УЧПЕДГИЗ
Год издания: 1940
Страницы: 70
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Скачать: dvulichuravizadachdelkruga1940.djvu

А. Г. ШКОЛЬНИК
ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ЗАДАЧИ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
УЧПЕДГИЗ
1940
А. Г. ШКОЛЬНИК
ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
и
ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАРКОМПРОСА РСФСР МОСКВА 1940
513.5
Ш.67
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос о возможности деления окружности циркулем и линейкой на равные части (или о возможности построения правильных многоугольников), с которым мы встречаемся в курсе элементарной геометрии, не получает там своего разрешения, так как требует более глубоких средств исследования. Полное решение этой задачи давалось до сих пор на основе теории Галуа и потому оставалось в значительной мере недоступным преподавателям средней школы, не владеющим этой теорией. Настоящая работа ставит своей целью дать вполне строгое изложение названного выше вопроса более элементарными средствгми, без применения теории групп.
Потребный для проведения доказательств вспомогательный материал из алгебры и теории чисел мне казалось полезным дать здесь же, не отсылая каждый раз читателя к соответствующим учебникам. Излагаемый материал в общем достаточно прост; несколько более трудным может показаться только доказательство неприводимости полиномов деления окружности в общем случае, выделенное петитом.
При работе над этой книгой мною использованы, помимо классической ,Die Lehre von der Kreisiheilung" Bachmann'a (1872 г.), также ряд курсов высшей алгебры, в том числе и вышедшие в последние годы у нас книги Сушкевича, Шапиро, Чеботарева (по теории Галуа) и др.
А. Школьник.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
§ 1. Введение.......................... 3
§ 2. Двучленные уравнения................... 13
§ 3. О разрешимости уравнений в квадратных радикалах..... 23
§ 4. Полиномы деления окружности. Необходимое условие разрешения в квадратных радикалах уравнения хп—1=0. • 34 § 5. Условие возможности построения правильного многоугольника
циркулем и линейкой..................... 47
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
1. Решение уравнений вида хп — а=.О, называемых двучленными, 'находится в тесной связи с геометрической задачей построения правильных многоугольников или, что то же, с задачей деления окружности на равные части. Из элементарной геометрии известно, как, пользуясь циркулем и линейкой, построить вписанные в окружность квадрат и правильные шестиугольник, треугольник, десятиугольник, пятиугольник и пятнадцатиугольник. Известно, далее, как удвоить число сторон правильного многоугольника, пользуясь теми же средствами построения. Таким образом, оказывается возможным делить 'окружность на 2к, 3*2&, 5-2fc, 15•2^ частей. Возникает вопрос, на сколько же равных частей вообще возможно разделить окружность при помощи циркуля и линейки? Можно ли, например, разделить окружность на 7, 9 и т. д. частей?
Задача деления окружности, известная еще в древности, получила свое полное разрешение, однако, лишь в новое время. Решение ее выпало на долю юного Гаусса, выяснившего условия, от которых зависит возможность построения правильных многоугольников циркулем и линейкой, ^доказавшего (1796 г.) возможность построения правильного семнадцатаугольнака и давшего общий метод и почти исчерпывающее решение всей проблемы.
2. Решение двучленного уравнения хп — а = 0 {аф 0) равносильно извлечению корня /г-й степени из числа а: х=уга. Последняя задача допускает, как известно, следующее решение.
Пусть
а —г (cos ф -і- і sin где г—модуль и ср — аргумент комплексного числа а. Корнем /г-й
П у--
степени из а называется такое число b — у а, что Ьп — а.
Пусть # = p(cos6-[-/sin6). Тогда, возводя b в я-ю степень по формуле Муавра, получаем:
pn (COS П б -|- І Sin П 6) = Г (COS Z -f- І Sin Cf)
и, следовательно,
f = r, пЪ = и~\-2кк (? = 0, 1, 2, . . .)>
З
откуда
и, следовательно,
(2)
Ь=^(ы±±^ + Ш*±^) (A = O, 1, 2,. . .)• О)
п _
Под ]/~г мы здесь понимаем положительное число—арифметический корень из положительного числах).
Давая k последовательно значения 0, 1, 2, ..., мы получим для Ъ П различных значений при k=0, 1, 2, . . . п—1:
t>o = Vr (cos + і sin
O1 = Vr (cos + їм VT--.)
=)/> (cos -^П— +1 sm j ^_i = I^(cos -+ isin^A_-L.y
/
При дальнейшем увеличений k корни будут повторяться. Напри-
мер, при k = n -—-= ^ + 2тг и так как 2тг есть период
для синуса и косинуса, то bn = b0. Таким образом корень /г-й степени имеет п различных значений.
В частности, при а=1 (г=1; <р = 0) мы получаем особенно важный случай корней п-й степени из единицы:
2k ті 2k Tz
є == cos —— -f- / sin —— (A = O11,2, . . .я —1) (3)
J) В теории иррациональных чисел доказывается, что для всякого положительного действительного числа а всегда существует единственный
п
положительный корень я-й степени ?=j/a\ 4
Или, подробно:
«0=1 »
2к . . . 2tw
S1 = COS--sin-
1 п 1 п
4тг , . . 4тс
S2 = COS--[- r sin —


2(п — 1)тт , . . 2(я— 1)тг
= cos —--—\-1 sin —--—
п 1 /г
(4)
Так как
^[«G+^+'-G+^)]-
= I/ г I cos — + г sin — ) • ( cos---г- ^ sin-I ,
v \ n 1 /г / V /г1 /г/
то
(5)
Таким образом, зная Ь0—значение одного корня п-й степени из числа а, мы можем получить все остальные корни умножением на все значения корня п-й степени из единицы.
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 23 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed