Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальные уравнения
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка п называется соотношение
F(x,y(x),y'(x).....!,<»>(*)) =0.
которое связывает независимое переменное х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у'(х), ytn)(x). Решить уравнение (проинтегрировать) значит отыскать функцию у(х) (отыскать интеграл), которая удовлетворяет этому уравнению для всех значений х в определенном конечном пли бесконечном интервале (а, Ь). Общее решение дифференциального уравнения
*"(*. у'{*).....У1п)(*)) =0
пмеет впд
у = у(х, СцС2, .... Сп),
где С;, С2,___, С„ — произвольные постоянные. Каждый частный
набор этих постоянных дает частное решение. График частного решения называется интегральной кривой, совокупность всех таких графньов образует и-параметрическое семейство интегральных кривых.
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
У1П) + *i (*) 1/(п-1) +... + «„(*)*=/ (*).
й,(.т), /(.т) (1 = 1, п)—непрерывные функции на некотором интервале. Еслп а,-— постоянные, то уравнение называется Дифференциальным утравнепнем с постоянными коэффициентами. Линейное уравнение называется однородным, если j(x) = 0, и неоднородным в противном случае.
Система решений и,, м2, уп называется фундаментальной, если эти функции линейно независимы па рассматриваемом интервале, т. е. еслп их линейная комбинация
ни при каких значениях чисел а\, о2.....ап, кроме
а, = а2 = ... = а„ = 0,
не обращается тождественно (для всех значений х) в нуль.
Решения jyi, уг, ..., уп однородного линейного уравнеппя образуют фундаментальную систему тогда и только тогда, когда их определитель Вронского
У\ Уз ¦•• Уп
W (х) =
?/1 У2 ••• Уп
(71-1) „(71-1) и<П~1Ц
Уі У-і. ••• Уп -
отличен от нуля.
181
180
Для любой системы рсшснпй однородного лпнейного уравпо-ния имеет место формула Лиувилля
W (х) = W (х„) ехр [ - J в, (.г) йх xQ е (а, Ь);
поэтому определитель W может обращаться в нуль только тождественно, т. е. только если W(x0) — 0. Если у\, у2, уп образуют фундаментальную систему решений, то
•Vj/i + h'j2 + ... + Кпуп = у является общим решением однородного уравнения.
Сформулируем теперь теорему единственности решения дифференциального уравнения вида
у' = Ф(*. У).
Будем предполагать, что фуньцпя Ф(х, у) задана на некотором открытом множестве С плоскости (х, у) и непрерывна по обеим переменным. Пусть функция Ф(х, у) удовлетворяет условию Липшица по переменно]! у:
\Ф(х, у)-Ф(х, ц) \ < V|«-rj|,
где М — некоторая положительная постоянная. Прп этпх предположениях при любом пачалыюм значении у(х0) = у о, где точка (хо, уь) е G, указанпое уравнение имеет единственное решепне у(х), удовлетворяющее условию у(х0) = у о- Каждое такое решение может быть продолжено до границы области О. Другими словами, через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая.
Теоремы единственности аналогичным образом формулируются п для уравнений «го порядка, а также для систем дифференциальных у равнении.
Уравнения н неравенства
Решить уравнение
/(*) = О
с неизвестным х значпт найти все зиаченпя х, удовлетворяющие этому уравнению. Такие значения х называются корнями уравнения гош нулями функции f(x). Решение можно проверить подстановкой. Алгебраическим уравнением степени п называется уравнение вида
f(x) = а0х" + о,*"-1 + ... 4- ап = 0, ос Ф О,
где коэффициенты o,(f = 0, 1, ..., п) действительные пли комплексные чпела. По поводу решений таких алгебраических уравпенпй речь шла в разделе «Многочлены»,
182
Для действительных чпгел a v Ь справедливы следующие часто употребляемые элементарные неравенства:
+ < 1«| + \а-Ь\ |М-|Ь||,
Oi + ai>2n1'72,
(1,441/0(1.4
аЪ< — +—, р> 1, -1 ' — = 1, «>0, Ъ>0, Р Ч Р Ч
ab ^ a log а — а + еь, а > 1, Ь > 0. Еслп заданы дна множества F, u F3 отобралчения gt:4-\ —vF2, р2: F, — F2,
то выражение вида
?.(/)= ЫЛ. /е-7!.
называют уравнением на множестве Ft.
Данное уравнение пазывают функциональным, если множество F, явлиется классом функций с общей областью определения п общей областью зпачеинй. Например, уравнение f(x) = f(2x) является функциональным. .Здесь gi(/(x)) = /(г), g2(f(x)) -= /(2х), х е В\ a F, — мпожество непрерывных функций.
АЛГЕБРА
Матрицы н определители
Определение 1. Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из г строк u п столбцов (матрица размера гХп):
f"\\ Я12 ••• Й1"
I °*1 °22 • • • С2г] А - I
\ог| 0Г2 ... ОгП
где скаляры о,-* еР — полю действительных или комплексных чисел (иногда произвольному ьоммутативпому полю).
Если г = п, то матрица А оказывается квадратной порядка п. Диагональ этой матрицы, составленная пз элементов ац, о22, ...
а„„, называется главной диагональю. Квадратная матрица Е, все элементы которой, кроме стоящих па главной дпагопали, равны нулю, а стоящие па главной диагонали равпы единице, называется единичной.
Пусть заданы прямоугольные матрицы А п В, причем всякая строка матрицы А содержит столько же элементов, сколько их во всяком столбце матрицы В. Тогда произведением матриц А и В называется матрица С = АВ, число строк которой равно числу
