Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
{А}, в) = и, А*В).
Действительно, (.4/, в) при фиксированном в представляет собой линейный функционал, примененный к переменному элементу /, тогда существует однозначпо определенный элемент в* такой, что (/4/, в) = (/, ё*) для любого /.
Положим А*в = так определенный оператор, очевидно, линеен. Покажем, что он ограничен и его норма равна норме онера-тора А. Пусть / = А*в, тогда можно записать, что
(А*в, А*В) - (АА*е, В) \\АА^Ш <ШЫ'1Ш1.
Значит, \\А*в\\ < \\A\V\gW, Ы*\\^\\А\\. Точно так же, положив g = •= Л/, получим, что 1И|| Значпт, \\Л\\ = \\А*\\.
Единичный оператор Е и нулевой оператор О совпадают со своим сопряженным, т. е. Е = Е*, 0 = 0* (?/ = /, О/ = 0, / е= Я).
Определение 17. Если ограниченный оператор совпадает со своим сопряженпым, то он называется симметрическим (самосопряженным). Из определения сопряженного оператора вытекают следующие равенства:
(аА)* = а А*, (А + А)* = Л\ + А\, (АхА%)* = А\а\.
Заметим, что если преобразование (оператор) А задано в п-мерном евклидовом пространстве, то матрица сопряженного преобразования (оператора) А* получается из матрицы преобразования (оператора) А в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице.
13 в. А. Садовничий. А. С, Подползли
193
192
Билинейная форма от 2п переменных ?п |2, ¦ ¦ ¦, |п, т]1, т]2, ..• 1«ч т]п есть выражение вида
п п
1=1 н=\
в**, Б«, т)к — чпсла, х' = {?,} — матрица-строка, у = {г]л} — матрица-столбец.
Квадратичной формой называется выражение
П 71 |
х'Ах= 2 2 йаЛ^к"1Х'Агх' А=^2~(А+А').
1=1 й=1
Матрица А\ называется матрицей квадратичной формы. Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие бесконечно много различных матриц А, для которых эта форма равна х'Ах. Среди них одна матрица А\ является симметрической. Поэтому квадратичную форму мы всегда считаем симметрической.
Квадратичная форма действительна, если действительна матрица Ах.
Действительная симметрическая квадратичная форма называется положительно определенной, если х'А\х > 0, отрицательно определенной, если х'А\Х < 0 (неотрицательной плп неположительной, если соответственно х'Ахх ^ 0, х'А\х ^ 0) для каждого набора действительных чисел ?1, |2, •-ч |п, не все из которых равны нулю. Все остальные формы называются неопределенными (если внак х'Ахх меняется) или тождественнЬ равными нулю.
Эрмитовой формой от п действительных плп комплексных переменных |], |2, ?„ называется выражепие вида
1=1 й=1
где А\ = 51^г,л<п —эрмитова матрица (а,-» = ам), матрица х* = {!,-} (черта сверху означает комплексное сопряжение). Для эрмитовых матриц аналогично определяется понятие положительной определенности, отрицательной определенности и т. п.
Линейное невырожденное преобразование координат вектора
п
*1=2(«& ('-1.2,...,»), (х = Тх), й=1
йеЬ Т Ф 0 переводит квадратпчпую форму в квадратичную форму от новых переменных ||, ?2, ...,
х'Агх= 2 2 "/./ДА — Х'А1Х>
1=1 А=»1
;=1 л=1
Для каждой данпоп действительной симметричной квадратичной формы существует такое липейное преобразование с дейст-
194
внтельпымп коэффициентами что новая матрица А, является дпаюналкнон:
71
я'Ахх = х'А& = 2 °ц%Ъ 1=1
Дчн эрмитовой формы также существует такое линейное преобразование, что
х*А1х=~х*А1х~ 2 в,,11,1е. 1=1
Число г огличиых от пуля коэффициентов в диагональных видах форм пе зависит от выбора преобразовании и называется рангом данной формы. Это число г совпадает также с рангом матрицы Л|. Разность я между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов а,ч в диагональном виде действительной формы ие зависит от выбора преобразования (закон инерции). Это число называется сигнатурой квадратичной формы. Аналогичный закон справедлив и для эрмитовых форм. Добавочным преобразованием эти формы можно привести к виду
п п
х'А.х = V е.?2 ПДН Х*А1Х = V 6/1 ?.
\^\ 1=1
где с,- равен + 1, —1 плп 0.
Если даны две квадрн гнчпые формы, одпа из которых положительно определенная, то можно указать такое преобразование, которое приводит п\ одновременно к диагональному виду.
Существует много при шаьов положительной определенности, нео1|>ицагельностц и т. д. квадратичной формы. Приведем один из них.
Квадратичная форма является положительно определенной, отрицательно определенной, неотрицательной, неположительной, неопределенной и тождественно равной нулю, в том и только том случае, если собственные значения Л,- матрицы А\ (они всегда действительны) соответственно все положительны, все отрицательны, все неотрицательны, все неположительны, имеют различные знаки или все равны нулю.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ II КОМБИНАТОРИКА
Пусть т и п — целые чпсла. Если существует такое целое А, Что т = кп, то говорят, что т делится на п или что п делит т\ вто обстоятельство обозначается п\т. Если пг\п,; т|и2; т\пь, то т называется общим делителем чисел щ, и». Наибольший общий делитель этих чпеел обозначается (щ, п2, пк). Если он равен 1, то числа иь ..., пк называются взаимно простыми. Если «11 пг; п2| пг;...; пк\ пг, то т называется общим кратным чисел И|,...
