Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Кривая называется простой, если она не содержит кратных точек н функции x(l), y(l). z(t) однозначны. Простая спрямляемая кривая называется простым контуром.
Заметим, что о!сутсгвие краших точек означает, пи нет таких двух различных значении ai 11 u2. для кото рыж справедливы равенства .c(a,) = .r(a2), j/(a,) = ;/(a2). r(a,) = z(u-).
При вычислении кратных ннитралоп. часто используется формула замены переменных. Пусть даны две «-.черные облает: (D) в пространстве xi, х2, х„ н (D,) в пространстве 1о, ..., ?„, ограниченные каждая непрерывной — достаточно гчадкой (или кусочно гладкой) поверхностью. Предположим, что между ними
С ПОМОЩЬЮ формул X— Г,(?,, 62... .,6 и).....х» = (1н S2----,6»)
у станав.чиваетсн взаимно однозначное соответствие. Toi да, еслп допустить существование и непрерывность производных, входящих ниже, и потребовать, чтобы якобиан
D (х,, X.,. . .., х \ D dx.
то интеграл от непрерывной в (D) фулкции l(xt, т2. я:,,) может быть преобразован ио формуле
II
J • - - J /( J?i. а2.....rn) ditdxs ... drn —
F (61, E......У I ' I ¦ • • <?en,
где
F{%.....,%«) = .....г,.(1......g,.)).
Дадим теперь определение измеримого по Лебегу множества. Для этого введем сначала следующие понятии.
Определение 2. Кольцом К множеств называется совокупность, замкнутая относительно операций суммы, разности и пересечения, т. е. еслп A, D s К, то A IJ В, А Г] В, А\В (A Zj В) принадлежат кольцу.
Определение 3 Полукольцом Р множеств называется такая совокупность множеств, которая замкнута относительно пересечения, 0ef,n из того, чю A, Aie.P, А Ъз А h следует, что А =
н
= U Ak, A. CiAj = 0, 1Фи Ai е? (( = 1, 2, и).
h= 1
Для всякого полукольца существует минимальное кольцо Л'с, содержащее данное полукольцо, и это кольцо единственно.
Определение 4 Кольцо называется с-кольцо.ч, если оно замкнуто относительно операции счетного объединения; о-кольцо с единицей называется а-а.ггеброй множеств.
Определение 3. Мерой р на полукольце Р называется действительная аддитивная функции множества, причем неотрицательная. Другими словами, если р — мера, то
1) р(Л) ^ 0 для любого А е Р;
2) ММ U fl) =,i (.•)) +u. (ft), .-I П Я= С А, Се Р. Мери называется о адОилйеной, если
ll(U '1«) = — ^гП.1у=0, /,н.
Всякую о-аддигнвиую меру можно однозначно продолжить с полукольца на минимальное кольцо, содержащее данное полукольцо.
Так называемое лебегово продолжение меры дает возможность продолжить о-аддшнвную меру с полукольца на класс измеримых ио Лебегу множеств.
Верхней мерой Лебега р* называется величина
(Л)= інГ ?и(С),
ас у в, '
где А е 2-т —множеству всех подмножеств А' — единицы полукольца, В, еР—полукольцу. Нижний грань берегся но всевозможным покрытиям множества А.
Определение 6. Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого е > 0, найдется такое множество В е А'о, что и*(ЛДС) < е, где А'о — минимальное кольцо, содержащее полукольцо Р.
Класс А(и) измеримых но Лебегу множеств по мере р, представляет собой о-алгебру с единицей А', функция р,— о-аддш явная мера на этом классе.
Если заданы о алгебра множеств п о-адднгнвпая мера, то говорит, что задано измеримое пространство.
Примером о-кольца множеств (о алгебры множеств) могут служить так называемые борелевские множества отрезка [0, 1|, т. е. множества, получающиеся из открытых множеств путем конечного или счошого числа операций, причем каждая операция — эю либо взятие пересечения, либо взятие суммы, либо переход к дополнению.
Каждое конечное или счетное множество измеримо по Лебегу и имеет меру нуль. Мера Лебега отрезка равна его длине.
В теории вероятностей события рассматриваются как множества, а верен гпость наступления события — а то аддитивная или счешо аддитивная функЦни множества.
Ряды
Говорят, что бесконечный ряд яо + в\ 4- аг + •. • действительных или комплексных чисел «с, 01, а2, ... сходится, если последо-
71
вательность 5о, 51, ?2, ... сто частичных сумм 5П = ^ «ь имеет
предел S— lini Sn* Число S пазывается суммой ряда:
fe=0
S = lim
n-o° ft==u
oo
\ = S 4 < ?-
Ряд 2 ак абсолютно сходится, еслп сходится ряд пз абсолютных к=0
оо
величпп его членов, т. е. сходится ряд 2 I "к 1" Если последний
со
ряд расходится, а ряд 2 ак сходится, то говорят, что он сходит-к=й
ся условно.
Ряды могут быть составлепы и пз функций, в этом случае их называют функциональными. Ряд ос(.т) + аі(х) + о2(х) + .. сходится к сумме 5(.т) на множестве А значений х, если при каждом значении г є Л соответствующий числовой ряд сходится. Ряд
5(ж)= V ай(х) сходится равномерно на множестве А значений х, к=и
еслп для всякого в >0 существует такой номер N{г), что \Яп(х) — ?(.т)| < е для всех п Зг N и всех же Л (равномерное стремление частичных сумм 5„(ж) к функции 5(г)).
Существует много признаков сходимости рядов с положитель-
00
ными членами. Приведем несколько из них. Ряд 2 аь с п°лояш-
к=0
тельнымп членами а0, а1г а2, ... сходится, если выполнено одпо из условии:
ПС
1) ап ^ Мп, 2Л/й < 00 (сидится);
2) по крайней мере одпа из величин
