Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
х-»а4 * *а—
165
= ki-]-b пвпмется накіонной асимптотой графика функции у = = f(x) ири х —*¦ ± оо, если І(х) — kx 4 b + а(ж),'гди її ти а (х)=
X-»_t°o
= U.
3) Найти оолсити возрастания и убывания функции и точки экс і рему ыа.
•і) Нангн области сохранения выпуклости н точки перегиба.
5) Найти точки пересечения графика функции с осью Ох.
При построении графиков функций и в других вопросах часто оказываются полезными полярные координаты. Полярная системи координат задается точкой О (полюс) и направленной прямой Ох (полярная ось). С каждой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат, можно связать определенную пару чисел г, ф (полярные координаты). Полярный радиус г есть длина отрезка (>Р, а полярный угол (г — раднанная мера уїла хОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки. Угол <( определен с точностью до 2А.л (1с — 0, ±1, ±2, ...).
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом О и осью Ох прямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения г, х, у нсиользованы равные единицы масштаба, декартовы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования:
х = г-cos ф, у = г- sin ф, г — (х2 -f- у2)112, tg4> = -J, х^О.
Многочлены
Выражение вида
р„(х) = а0х" +и|г'-| + ...тв», at (I = 1, 2, ..., и),
п — натуральное число, я;, вообще говоря,— комплексные числа, "о Ф U, называется многочленом степени п (или полиномом степени п) от неизвестного х. Два многочлена равны (тождественно равны), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. По определению многочленом считают и многочлен ри(х) нулевой степени, т. е. константу, а также число нуль.
Если для данного многочлена р„(х) существуют такие многочлены gm (г) п п(х), что р,,(х) = <7„, (jr) •t'i(.t), то многочлен Г|(?) называется делителем многочлена р„(х), ясно, что m п / не превосходят н. При этом говорят, что р„(х) делится на ri(x).
Пусть даны два произвольных многочлена р(х) и q(x). Многочлен г(х) будет называться общим делителем дли р(х) и q(x), если он .служит делителем каждого из многочленов р(х) и q(x). Очевидно, что общим делителем любых двух многочленов р(х) и q(x) является многочлен нулевой стеиспн. Если других общих делителей нет, многочлены называются ejauMno простыми.
Наибольшим общим делителем многочленов р(х) и q(x) называется такой многочлен m(j), который являеия их общим делителем н делится на любой другой общий делитель этих многочленов.
Любые два многочлена обладают наибольшим общим деятелем (который определен с точностью до множителя нулевой степени,
1G6
поэтому стерший коэффициент наибольшего общего делителя полагают равным едпипце).
Для многочленов р(х), q(.r) и их наибольшего общего делителя пг(х) всегда можно указать такие многочлены и(х) и v(x), что р(х)и(х) + »(/)»(/) = m(r).
Многочлены р(.г) п q (х) взаимно просты тогда и только тогда, когда можно указать многочлены и(х) и i(x), удовлетворяющие
рааен> тау
р(т)и(х) + q(x)v(x) s= 1.
Число а называется корнем многочлена р(х). если при подстановке этого числа в многочлен вместо .г последний обращается
в нуль.
Если многочлен р(х) допускает представление вида /'(•<) = (х — a)hg(r), к — натуральное,
где многочлен g(.r) не делится на (.т —а), то чпело а называется корнем кратности к, при А- = 1 корень а — простой.
Очевидно, что А'-ьратнын корень многочлена р(х) будет (к — s)-кратным корнем s-ii производной этого многочлена (к s) и не будет корнем А-и производной от р(х).
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема (основная теорема о корнях многочлена). Всякий многочлен, спепенъ которого не меньше единицы, имеет хотя Сы один корень, в общем случае комплексный, причем, если корни считать с учетом их кратностей, то многочлен степени п пмееі ровно п корней.
Если нам надлежит построить многочлен не более чем п й степени, который при значениях неизвестного 6Г[, о2,..., о„ +1, предполагаемых ра.члпчныхш. принимает соответственно значения С\, с?. .... с„ + і, то зі от многочлен-за дае тс.ч интерполяционной формулой Лагранжа
n-r 1
П [х-а.)
-V с
ИТ-1
)— і
Еслп задан многочлен степени п вида
р(.т) = хп 4 а,!""1 4 ... 4 0,,-ьТ 4 ап
н еслп ai, cto, ап — его корни с учетом их кратностей, то р(х) обладает следующим разложением (оно единственно с точностью до порядка сомножителей):
р(х) = (х — а.) (х — аг) ... (х — а„).
Перемножая скобки, стоящие справа, преобразуя правую часті, и сравнивая коэффициенты при одинаковы* степенях с коэффициентами многочлена исходного вида, напучим формулы Вьета а, = —(а, +й! 4 ... 4 а„). • ••> "» = (—"Га, ¦ а3 ... о„.
Ш
Заметим еще, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены (если а—корень, то а тоже корень; а = а — 1Ь, если а = я + іЬ).
Многочлены называют еще целыми рациональными функциями. В отличие от многочленов, оробно рациональные функции Ю(х) это частные двух целых рациональных функций (многочленов)
Рассматриваются также многочлены от нескольких, более чем очного, переменных.
