Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ft и аг — преобразования Гельфанда операторов Q(Z) и AR соответственно. Тогда
(6) o8 = -^f! (8 > 0),
и простое вычисление показывает, что
(7) ^213—«е = у (ае)а, ибо ^28=(Ze)2. Положим
(8) 6(р)= lim «з_« (р)
для всех тех р G А, для которых этот предел существует (как комплексное число), а для остальных р?А положим 6(р) —0. Тогда 6 — комплексная борелевская функция на А. С помощью теоремы 13.24 введем оператор B = V(O) с областью определения
(9) S)(B)^-JxGH: $\Ь\ЫЕх.х<оо\.
Тогда В — нормальный оператор в пространстве Н. Мы покажем, что A = B.
Если х?@)(А), то величины ||Лкл:|| при є —»¦ 0 ограничены. Следовательно, существует такое Cx < оо, что
(10) l\a*\*dEXtX 1\А6х\\*^Сх (0<е<1), д
406
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
и потому в силу (7)
(11) ^\aiC—ae\dEXtX^Cx (0<е<1).
А
Рассмотрим неравенство (11) при є = 2~п (п = 1, 2, 3, ...) и сложим все возникающие неравенства. Из полученного таким способом неравенства следует, что
OD
(12) 2 \аг-п+1—а2-п\ < сю почти всюду [ЕХуХ].
п— 1
Поэтому предел (8) существует почти всюду [EXjX], и из неравенства (10) и леммы Фату следует, что
(13) l\b\*dEXtX^Cx.
А
Таким образом, S) (A)CiS) (В).
Неравенство (5) из доказательства теоремы 13.35 показывает, что ||ехр(Лс) IKyK 00 при 0<е< 1, где постоянная Yi определяется полугруппой \Q(t)\. Следовательно, IcXPOb(P)Ky1 для всех р ^ А, поскольку преобразование Гельфанда является изо-метрией ?*-алгебр. Поэтому из формулы (8) следует, что | ехр Ь (р) К =CYi для всех р 6 А. Таким образом, существует такое y< оо, что
<14) ReЬ (pKy (P Z А).
Если є—v0 по последовательности {2~"|, то для любого jt?із?)(Л) и любого t^O величина
<15) И exp (I Аг) х—exp (tB) X Л2 = \ I exp (tae) — exp (/6)|2 dEXt х
А
¦стремится к 0, поскольку подынтегральная функция при 0 < є ^ 1 ограничена постоянной 4у\( и почти всюду стремится к 0.
Поэтому из утверждения (d) теоремы 13.35 следует, что
<16) Q(t)x = etBx (XZS)(A)).
Однако функция eib ограничена па А, и потому efBZfB (H), а так как соотношение (16) показывает, что непрерывные операторы Q (t) и ewсовпадают на всюду плотном подпространстве S) (А), то мы заключаем, что
(17) Q(t) = ew (0<?<oo). Из равенства (17) следует, что
(18) Аех — ?х=(бЕД~7— B^ х, так что
dEx, х>
А
(19)
И АЕх—Bx
=1
eEb — I
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
407"
При г—5-0 подынтегральная функция в"формуле (19) стремится к 0 в каждой точке р?Д. Так как функция \(ez—l)/z\ ограничена на всякой полуплоскости {z: Rez с), а подынтегральная функция в (19) может быть записана в виде
то из неравенства (14) и теоремы Лебега об ограниченной сходимости следует, что для любого % Z S (В)
(20) lim || АЕх—?л;||2 = 0.
є-> 0
Это показывает, что S(B)czS (А) и А = В.
Теперь из неравенства (14) и утверждения (с) теоремы 13.27 следует, что ReX^y для всех л.?о(Л).
Нам осталось доказать лишь последнее утверждение теоремы, относящееся к унитарным полугруппам. Если каждый из операторов Q (г) является унитарным, то |/в|=1, и соотношение (6V показывает, что число [\тае(р) является чисто мнимым для всякой
точки р 6 А, для которой этот предел существует. Поэтому Refr(p) = 0 для всех р ?А, и если 5 = — іВ, то равенство (17). превращается в (3), а из утверждения (с) теоремы 13.24 следует,, что оператор S самосопряжен. Щ
Упражнения
Во всех упражнениях буква // обозначает гильбертово пространство» если не оговорено противное.
1. На протяжении этой главы мы свободно пользовались ассоциативным законом (T1T4) T1J-T1 (T2T3). Доказать его. Доказать также, что если T1 CZ T2, то ST1 с: STl и TxS CZ T2S.
2. Пусть T—плотно определенный оператор в пространстве И. Доказать, что T обладает замкнутым расширением тогда и только тогда, когда подпространство S) (T*) всюду плотно в Н. Доказать, что в этом случае оператор T** является расширением оператора Т.
3. Если T—плотно определенный оператор в пространстве Н, то из теоремы 13.8 следует, что S)(T*) = {0\ тогда и только тогда, когда график % (T) оператора T всюду плотен в пространстве НхН. Показать, что это * действительно .может случиться.
4. Предположим, что T — плотно определенный замкнутый оператор в пространстве // и что Т*Т с: TT*. Следует ли отсюда, что оператор T нормален?
5. Предположим, что T — плотно определенный оператор в пространстве If и что (Tx, х)~0 для всех XZS (T). Следует ли отсюда, что Т* = 0 для всех X ? S (T)?
408
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
6. Для всякого оператора T в пространстве // положим
<К> (T) = {х? S)(T): Tx = O}. Доказать, что если подпространство S) (T) всюду плотно, то
^(T*)=--Si(T)L[]S)(T*). Доказать, чго если оператор T плотно определен и замкнут, то
Я (T*)Ln@)(T).
Это утверждение обобщает теорему 12.10.
7. Рассмотрим следующие граничные задачи для дифференциального уравнения
Г-1-g,
где g— некоторая заданная функция из L2 ([0, 1]): (j) /(0) = /(1) = 0; (U) /'(0) = /'(1) = 0; (Hi) /(0)-/(1) и /'(0) = /'(1).
Показать, что каждая из этих задач имеет единственное решение /, для которого производная /' абсолютно непрерывна и f"?L2 ([0, 1]). Указание: скомбинируйте пример 13.4 с теоремой 13.13.
