Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
ьыберем число п так, чтобы (oczoj. В силу (27)
QSE (со) = QSQE'(и) = ?'(ю) QSQ = E (со) SQ,
так что
(29) QnSE(V) = E(V)SQn
для всех достаточно больших п.
Устремляя п к бесконечности в равенстве (29), в силу предложения 12.18 получаем, что
(30) SE (со) = E (со) 5
для всякого ограниченного борелевского множества со, а потому и для любого борелевского множества со с С. Щ
Полугруппы операторов
13.34. Определения. Пусть X — банахово пространство; предположим, что каждому / ? [0, оо) таким образом сопоставлен оператор Q (/) ? ZB(X), что выполняются следующие условия:
(a) Q(O) = /;
(b) Q (S -\- t)=Q (s) Q (t) для всех s > 0 и / > 0;
(c) Um II Q(t) х—x \\ = 0 для всякого х?Х.
t -*0
Если выполняются условия (а) и (Ь), то \Q (t)} называется полугруппой (или, точнее, однопараметрической полугруппой) операторов. Такие полугруппы допускают экспоненциальное представление при условии, что отображение t—>Q(t) удовлетворяет некоторым условиям непрерывности. В качестве такого условия непрерывности мы выбрали здесь условие (с), с которым легко работать.
По аналогии с тем, что всякая ненулевая непрерывная комплексная функция f, удовлетворяющая условию / (s~\-t) = J(s)f (t), представляется в виде / (г) — ехр (At), так что число А = /'(0) однозначно ее. определяет, мы связываем с полугруппой {Q(Of операторы АЕ, определенные формулой
(1) A,x=\[Q(e)x-x\ (х?Х,е>0), и полагаем
(2) Ах = \\тАех
400
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
для всех XGSD(А), т.е. для всех векторов х, для которых предел (2) существует в смысле сильной топологии в пространстве X.
Ясно, что SD(A) является подпространством пространства X и что А — линейный оператор в X.
Этот оператор (который, по существу, есть Q' (0)) называется инфинитезимальным производящим оператором полугруппы {Q (1)\.
13.35. Теорема. Если \Q (t)\ — полугруппа операторов, удовлетворяющая сформулированным выше условиям, то
(a) для всякого х?Х отображение t —> Q (t)x полуоси [0, оо) в пространство X непрерывно;
(b) А является плотно определенным замкнутым линейным оператором в пространстве X;
(c) для всякого х?®(А) векторная функция Q (t) х удовлетворяет дифференциальному уравнению
^Q(I)X = AQ(t)x^Q(t) Ах;
(сі) для всякого х?Х
Q (t)x = lim [ехр (M6)] х,
є->0
причем сходимость равномерна на каждом компактном подмножестве полуоси [0, оо).
Весьма замечательно, что утверждение (d) справедливо для всех X GX1 а не только для х G SD (А). Предел, фигурирующий в этом утверждении, как и предел, определяющий производную, участвующую в утверждении (с), понимается в смысле сильной топологии пространства X.
Доказательство. Если бы существовала такая последовательность /„—»-0, что Il Q (In) И —> со, то из теоремы Банаха — Штейн га уза следовало бы, что для некоторого х ? X последовательность {II Q (tn) X К} не ограничена. Но это противоречило бы нашему предположению, что
<1) HQ(OJC—X И -» 0 при t^o.
Следовательно, существуют такие 6 > 0 и у(, < со, что
(2) И Q (t) ||<у0, если 0<*<6.
Положим ¦V = SUp] I Q (s) ||: O^s^l}. Из неравенства (2) и функционального уравнения
(3) Q (S + I)=Q (s) Q(I) следует, что у<оо. Кроме того, и
(4) HQ(OIKy1+' (0</<«>),
так как если n^t<n-{-\, то Q (t) — Q (\)п Q (t — п).
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕР Л ГОРЫ
401
и = 0
Неравенство (4) можно применить для оценки нормы оператора схр (МЕ) = е-'/*схр|4 Q(JJ)} в результате получаем, что
CC
Il exp (Me) (К *-</' X -^- = у exp {/ Vі •
Если 0 < 8 1, то уе— 1 (у— 1). Следовательно,
(5) i|exp(Me)||<Yexp(*Y) (0<є<1, 0</<оо).
После этих приготовлений мы приступаем к главной части доказательства.
Если х?Х и в > 0, то условие (1) показывает, что существует такое Tj = Tj(X, в) > 0, что || Q (0х — л:|| < в при Отсюда и из неравенства (4) следует, что если Os^.s; ^ t s-H] то
il Q {() x-Q (S) X И = Il Q (S) [Q (tS) х-х] || <
< Il Q (S) Il Il Q (ts)x-x\\ <Y«'-'e.
Это доказывает справедливость утверждения (а). Поэтому существует Х-зиачный интеграл
(6) Mt (X) = ~^Q(s)xds {X GX, />0).
о
В действительности из неравенства (4) следует, что Mt ? Ш (X) и II/W(;Ky1 + '- Мьі утверждаем, что справедливо тождество
(7) Аф\г = A1M,. (в > 0, t > 0). Чтобы доказать это, перепишем очевидное равенство
Є l + F I t + E
в виде
t+E t /+?
и воспользуемся последним соотношением в случае, когда подынтегральная (векторная) функция есть Q (s) х. В силу (3) левая часть соотношения (8) принимает вид
t t
\ [Q (e + s) —Q (S)]XdS=[Q (8)—/] J Q (s)xds = zAelMtx.
402 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Точно так же проверяется, что правая часть (8) есть tAt?MKxr откуда следует справедливость соотношения (7).
Теперь мы можем доказать утверждение (Ь). Из (1) и (6) следует, что Mtx —^x при t—> () для всякого X ZX. Если / > 0, то A1ZSB(X). Поэтому в силу (7)
(9) lim AJA1X = At lim Мех — Atx.
є-*0 є-»-0
Отсюда следует, что MtxZS(A) для любого 1 > 0, т.е. подпространство S)(A) всюду плотно в X, и что
(10) AMfX = AtX (XZX, />0).
Поскольку операторы Q (s) и Q (/) коммутируют, операторы АЕ и Mt тоже коммутируют. Поэтому из (7) следует, что если xZS(A) и t > 0, то
