Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Так как оператор W (/) замкнут, то оператор 4F (/)-1 тоже замкнут. Если бы подпространство M (W (f)) совпадало со всем пространством Я, то из теоремы о замкнутом графике следовало бы, что W (/)-1 ? -53 (H). Но это невозможно в силу существования построенной выше последовательности \хп\.
Таким образом, утверждение (Ь) доказано.
(c) Из утверждений (а) и (Ь) следует, что множество существенных значений функции / содержится в спектре G(W(D) оператора W (/). Чтобы получить противоположное включение, предположим, что точка 0 не принадлежит множеству существенных значений функции f. Тогда g=l/f €L* (E) и fg=l, так что V (/) V (ё) = т (О = 1; отсюда следует, что M (W (f)) = Я, и по теореме о замкнутом графике W (/)-1 ? .? (H). Следовательно,
Следующую теорему иногда называют принципом замены меры
гл. 13. неограниченные операторы
391
13.28. Теорема. Предположим, что
(a) Ш и Ш' суть о-алгебры в множествах Q и Q' соответственно;
(b) Е: Ш—* 33 (H)—разложение единицы;
(c) <p: Q—^Q' — такое отображение, что ф-1 (со') ? ШЇ для всякого (iV ? Ш'.
Если E' (©') = E (ф-1 («')), то E'; Ш' —* 33 (H) также является разложением единицы, и
(1) S fdEXtU=\(fo<$)dEx,y
ii' Q
для всякой Ш'-измеримой функции f: Q'—>- С, для которой хотя бы один из этих двух интегралов существует.
Доказательство. То, что E' является разложением единицы, устанавливается с помощью непосредственной проверки, которую мы опускаем. Если / — характеристическая функция, то равенство (1) превращается просто в определение разложения единицы E'. Поэтому оно справедливо для всех простых функций. Отсюда следует справедливость его и в общем случае.^
Спектральная теорема
13.29. Нормальные операторы. Линейный оператор T (не обязательно ограниченный) в пространстве H называется нормальным, ¦если он плотно определен, замкнут и удовлетворяет условию
Каждый из операторов W(f), построенных в теореме 13.24, является нормальным (это—одно из утверждений теоремы). Мы увидим сейчас, что (как и в случае ограниченных операторов, разобранном в гл. 12) всякий нормальный оператор может быть представлен в таком виде с помощью разложения единицы на его спектре (см. определение 13.26). Для самосопряженных операторов этот результат (теорема 13.30) с помощью преобразования Кэли очень быстро выводится из спектральной теоремы для унитарных операторов. Для общих нормальных операторов будет дано другое доказательство (теорема 13.33).
13.30. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора А в пространстве H существует единственное разложение единицы Е, определенное на о-алгебре всех борелевских подмножеств вещественной оси и такое, что
OO
О) (Ax9 у)= I tdEXty{t) (x6®(Л), уZН).
392 часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
Кроме того, это разложение единицы E сосредоточено на множестве о (А) с (—со, со) в толі смысле, что Е(о(А)) = 1.
Как и в гл. 12, E будет называться спектральным разложением для оператора А.
Доказательство. Пусть U— преобразование Кэли оператора A, Q—единичная окружность с выколотой точкой 1, а E' — спектральное разложение для оператора U (см. теоремы. 13.19(c), 12.23 и 12.26). Так как оператор / — U инъективен (теорема 13.19), то, согласно утверждению (Ь) теоремы 12.29,. E' ({!}) = 0 и потому
(2) (Ux, у) = ^KdE'x,у(К) (XGH, IjGН\
q
Положим
(3) f{X)=iSl±^. (X(ZQ)
и определим оператор W (/) по функции f и разложению единицьв E', как в теореме 13.24:
(4) (W(f)x, y) = \fdEx.y (xG@>f, У GH).
u
Так как функция f вещественна, то оператор W (/) самосопряжен (теорема 13.24), а из равенства f(K)(\—X) = Z(I-J-A.) в силу свойства мультипликативности получаем, что
(5) U) = i(I + U).
В частности, из соотношения (5) следует, что Sl(I— U)cieD (W(/))-По теореме 13.19
(6) A(I-U)= і (I + U)
и SD(A) = Sl(I-U) с= S)(W(f)). Сравнение (5) и (6) показывает,, что оператор W (/) является самосопряженным расширением самосопряженного оператора А. По теореме 13.15, A=W(f). Таким: образом,
(7) (Axt у) = [ fdE'x, у (XGSD (А), у G Н).
а
Согласно утверждению (с) теоремы 13.27, спектр о (А) оператора А совпадает с множеством существенных значений функции f. Поэтому а (А) сі (—оо, оо). Заметим, что / биективно отображает Q на вещественную ось. Поэтому, полагая для всякого борелев-ского множества со cz Q
(8) ?(/(©)) =
мы получаем искомое разложение единицы E1 превращающее соотношение (7) в соотношение (1).
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
393
Точно так же, как соотношение (1) было выведено из (2) посредством преобразования Кэли, соотношение (2) может быть .выведено из (1) с помощью преобразования, обратного к преобразованию Кэли. Поэтому из единственности представления (2) (теорема 12.23) следует единственность разложения единицы Е, удовлетворяющего соотношению (1), что завершает доказательство. Щ
Весь аппарат, развитый в теореме 13.24, может быть теперь применен к самосопряженным операторам. Следующая теорема .доставляет пример такого приложения.
13.31. Теорема. Пусть А—самосопряженный оператор в пространстве Н.
(a) (Ах, х)^0 для всех X^S)(A) (сокращенно A^O) тогда и только тогда, когда о (A) cz [0, оо).
