Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Показать, что экспоненциальное представление полугруппы {Q (/?)}, доставляемое теоремой 13.37, формально совпадает с известным из элементарного анализа разложением Тейлора.
22. Если /?#2 (см. упр. 9) и / (г) = 2с"г"» положим
со
[Q(OZ](Z)- 2 (я+1)-*с«г« (0<г < со).
/2 = 0
Показать, что каждый из операторов Q (t) является самосопряженным и положительным. Найти инфинитезимальный производящий оператор А полугруппы {Q (t)j. Является ли оператор А самосопряженным? Показать, что весь спектр оператора А является точечным и состоит из чисел log 1, log (1/2), log (1/3), ....
23. Если /??-2(R), xZR и 0< y< со, положим
со — да
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
411
и Q(O)/ = /. Показать, что {Q (у): 0^y < сс} удовлетворяет условиям определения 13.34 и что H Q (#)|| = 1 для всех у.
[Этот интеграл представляет гармоническую в верхней полуплоскости функцию, для которой функция / служит граничным значением. Отсюда можно вывести полугрупповое свойство для і Q (у)} (это можно также сделать, рассматривая преобразования Фурье функций Q (у) /).]
Найти область определения ипфинитезимального производящего оператора А полугруппы {Q (у)} и доказать, что
Af = -Щ\
где H—преобразование Гильберта (упр. 24 гл. 7).
Доказать, что оператор —А самосопряжен и положителен.
Приложение А КОМПАКТНОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Al. Частично упорядоченные множества. Говорят, что множество JJ частично упорядочено с помощью бинарного отношения <, если выполняются следующие условия:
(i) из о<А и Ь^с следует, что а <с;
(ii) a ^ а для всякого а ? (J1;
(і і і) если a ^Zb и Ь^а, то а = Ь.
Подмножество (§ частично упорядоченного множества J> называется линейно упорядоченным, если для каждой пары элементов а, Ь?(Ц выполняется хотя бы одно из условий ascib, Ь^а.
Теорема Хаусдорфа о максимальности утверждает:
Каждое непустое частично упорядоченное множество J* содержит максимальное линейно упорядоченное подмножество, т. е. такое непустое линейно упорядоченное подмножество (§., которое не является собственным подмножест-GOM никакого другого линейно упорядоченного подмножества множества J1.
Доказательство (использующее аксиому выбора) можно найти в [27] (см. также [13]). Этой теоремой мы пользовались при доказательстве теоремы Хана — Банаха, теоремы Крейиа — Мильмана и теоремы о том, чго каждый собственный идеал коммутативного кольца с единицей содержится в некотором максимальном идеале. Теперь мы снова применим эту теорему (в п. Л2), чтобы подготовить путь к простому доказательству теоремы Тихонова.
Л2. Предбазы. Семейство открытых подмножеств топологического пространства X называется предбазои топологии т пространства X, если совокупность всех конечных пересечений множеств из ff образует базу этой топологии (см. п. 1.5). Каждое подсемейство предбазы if, для которого объединение всех входящих ii него множеств совпадает с А', называется ^-покрытием пространства Л\ По определению, пространство X компактно, если всякое открытое его покрытие содержит конечное подпокрытие. Оказы-сается, что достаточно проверить это свойство для {)у-покрытий.
Теорема Алекса ндера о предбазе. Если — предбаза топологии пространства X и каждоеtof -покрытие пространства X содержит конечно?, подпокрытие, то пространство X компактно.
Доказательство. Допустим, что пространство Л' не является компактным. Мы покажем, что в этом случае существует такое ^-покрытие Г пространства X, которое не содержит конечных подпокрытий.
Пусть JJ— совокупность всех открытых покрытий пространства А', не обладающих конечными подпокрытиями. По предположению /J* ф и. Частично упорядочим Jj но включению; пусть Q — максимальное линейно упорядочен-
КОМПАКТНОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
413
ное подсемейство в (J, а Г — объединение всех элементов семейства Q (г. е. Г состоит из тех и только тех открытых подмножеств пространства X, которые являются элементами какого-нибудь из покрытий, входящих в H). Тогда
(a) Г является открытым покрытием пространства X,
(b) покрытие Г не имеет конечных подпокрытий, но
(с.) для всякого открытого множества V Г покрытие Г (J {V} обладает конечным подпокрытием.
Утверждение (а) очевидно. Так как Q линейно упорядочено, то каждое конечное подсемейство семейства Г целиком содержится в некотором покрытии, входящем в И, и потому не может покрывать X; отсюда следует справедливость утверждения (Ь). Утверждение (с) вытекает из максимальности Q.
Положим Г = Г Г\ of. Так как f с Г, то из утверждения (Ь) следует,
что Г не имеет конечных подпокрытий. Чтобы завершить доказательство, мы
покажем, что Г является покрытием пространства X.
Если это не так, то некоторая точка х?Х не покрывается семейством Г . Согласно утверждению (a), x?W для некоторого W ? Г. Так как of является предбазой, то существуют такие множестна V1, ..., V n?,if, что х? [}Vj CZ W.
Поскольку точка х не покрывается семейством Г, ни одно из множеств Vf не входит в Г. Поэтому из утверждения (с) следует существование таких множеств Y1, . .. Yn, что каждое из них является конечным объединением некоторых множеств из Г и что X-V1- (J Yf при 1^S і п. Следовательно,
