Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
u(Р) = u(xe, q).
Это приводит к тому, что потенциальная энергия устройства нагружения уменьшается. При записи функционала информация о краевом условии вводится через слагаемое - sp • u (Р). Для общности необходимо предположить, что наш образец нагружается также и по боковой поверхности. Пусть на элемент высотой dX действует сила FdX. Положительное направление F > 0 удобно выбрать так, как это показано на рис. 10.2.
a
Тогда уравнение равновесия приобретает следующий вид:
Эст (x, X)
0Х
- F = 0.
(2)
Рис. 10.2.
Перейдем к вариационному принципу. Ограничимся такими ~F силами F, для которых существует потенциал V(u):
F (u) = Vu (u).
Интегрируя потенциал V(u(x, X)) по X и затем суммируя по x, получим
1 г
1 j V(u(x, X))dX l
Dx.
(3)
Направление силы F > 0 противоположно направлению смещения u > 0. Поэтому в функционал выражение (3) войдет со знаком «+»:
2
b 1 I г
m / А
du
2 VdXJ
+ V(u(x, X))
dX\Dx +
(4)
+ Jw
x0
u (x + q, -p) - u (x - p, q) l
Dx - Sb • u(xe, q).
Теперь все готово для того, чтобы выяснить смысл условий стационарности данного функционала. Они имеют следующий вид:
A m — - Vu (u) = 0,
3X 5X
m du (x, q) m ^u (x + l, -p)
m
du (x, q)
^X
=W
dX
u (x + l, -p) - u (x, q)
l
/ 4 „ du (xe, q)
u(x0, -p) = 0, m--------------e----= Sb,
dX
(5)
(6)
(7)
(8)
где x = x0, x0 + l,...xe - l.
Первое уравнение — это уравнение равновесия (2), записанное с учетом (1). Уравнения (6) требуют непрерывности касательных на-
a
x
Рис. 10.3.
пряжений на контакте различных пластин. Уравнения (7) описывают поведение самого контакта и, наконец, условия (8) — это естественные краевые условия. Если на границе x = p задается смещение и(xe, q) = up, то последние условия (8) и слагаемое в (4) отбрасываются. Смещение и (p) при этом не варьируется. Все уравнения имеют ясный механический смысл и указывают на адекватность сделанных построений.
Замечание. В некоторых случаях деформируемое тело удобнее представлять в виде стержня, который растягивается силой s (сечение стержня — единичный квадрат). Силе F > 0 (F < 0) соответствуют боковые напряжения, которые препятствуют (способствуют) растяжению стержня (рис. 10.3). Разрывам R отвечают трещины на микроуровне. Берега трещин взаимодействуют между собой по закону, определяемому функцией W.
§ 46. Расширение принципа Гамильтона — Остроградского на неархимедово пространство и время
Из всех вариационных принципов принцип Гамильтона — Остроградского является наиболее универсальным [121]. Он успешно применяется как в классической, так и в релятивистской и квантовой механике, а также в ряде других областей. Попытаемся расши-
рить его на случай движения материальной точки в неархимедовом пространстве и времени. Неархимедово время — это время, которое имеет много масштабных уровней. Ограничимся только двумя уровнями — вещественным и первым микроуровнем:
T = t + t1E = t + t; t = t1E.
Здесь, как и прежде, t и t1 — ядра вещественных чисел. Движение точки будем считать одномерным, например движением вдоль оси OX:
X = X(T) = X0 + u(T) = X0 + u(t, t), (1)
X0 — начальное положение точки, и — смещение. При построении функционала будем руководствоваться двумя условиями:
10. В случаях, когда неархимедовость пространства и времени не проявляется, функционал должен переходить в классический и
20. Из всех возможных конструкций функционала выбирается наиболее простая.
Вначале перечислим переменные, от которых может зависеть функция Лагранжа. (В данном случае это есть разность между кинетической и потенциальной энергией частицы.) Прежде всего это скорость частицы. В архимедовом случае скорость определяется как предел
, ч ,. и (t + Dt) - и (t)
v (t) = lim —---------—,
Dt—0 Dt
t — вещественное время, и — смещение. Аналогичное определение в неархимедовом случае (1) имеет вид
v (T) = limitи (T + DT) - и (T) = ^iM. (2)
dt-0 DT dt
В неархимедовом случае есть еще одна скорость, которую мы наблюдаем на вещественном масштабном уровне времени. Если мы находимся в точке T = t, то примем, что промежутки времени до точек горизонта равны тp и tq (tp + tq = tl). То есть точкам горизонта соответствуют моменты T = t - тp и T = t + Tq. Тогда видимая скорость на вещественном масштабном уровне будет равна
