Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Новой числовой системе соответствует новая неархимедова плоскость — плоскость-2. На ней есть свои прямые, окружности и углы, образованные окружностями и касательными к ним прямыми. Что означает переход к прямым и окружностям в неархимедовой плоскости? Он означает, что мы отбрасываем все ореолы вещественного числа и оставляем только их ядра (см. рис. 9.10). От прежних непрерывных сторон угла на архимедовой плоскости остались толь-
ко ядра и ничем не заполненные промежутки между ними. Выписывая уравнения типа (6), мы заполняем эти промежутки по непрерывности. (Могли бы заполнить и по-другому. Получили бы другие объекты.) Снова имеем угол, который выглядит как «предельно» острый. Для радиусов окружностей теперь допускаются значения, равные актуальным бесконечно малым числам из числовой системы 2. Например, R = E = 1/w или R = Ew = 1/ww и т.д. Однако измерить такие углы в рамках неархимедовой числовой системы 2 невозможно. Необходим переход к теории со степенью разрешения 3 и т.д.
Таким образом, проблема измерения роговидных углов приобретает роль вечного стимула, требующего построения иерархии математических теорий, имеющих все большую разрешающую способность.
§ 43. Длина кривой
Пусть Y = F(X) — некоторая функция, заданная на неархимедовой плоскости OXY, a < X < р. Совокупность пар точек (X, F(X)) на плоскости OXY будем называть графиком функции. График функции будем также называть линией или кривой. Можно поставить вопрос о длине этой линии. Под длиной будем понимать значения определении интегралов, которые рассмотрим ниже. Интегралы зависят от дополнительный условий, обеспечивающих их существование и уточняющих их смысл. Будем считать, что данные условия уточняют также и принятое выше определение самой линии и определение ее длины.
График задан на вещественном и первом мегауровне неархимедовой прямой. Вначале рассмотрим случай, когда функция определена на вещественном и первом мегауровне неархимедовой прямой, т.е. при
Пусть интервал [a, Р] целиком принадлежит одному масштабному уровню прямой, например a = 3w, Р = 3w + 2. Тогда под длиной кривой будем понимать значение интеграла
Здесь h — фиксированная величина, играющая роль параметра. Интеграл (1) является обычным интегралом для вычисления длины достаточно гладкой кривой [116]. Тот факт, что в выражениях (1), как
X = х-1 w + х = h + х, F(X) = f (h,х).
(1)
a
правило, будут присутствовать числа w и E, никаких трудностей ни в технике вычисления, ни в понимании результатов не вызывает.
Теперь мы хотим рассмотреть случай, когда отрезок интегрирования захватывает два масштабных уровня прямой. Положим
где hp > ha. Формула (1) позволяет подсчитать интеграл по x при фиксированных значениях h = ha, hp. Поэтому ниже можно считать, что xa = -p, x p = q, где, как и прежде, p, q — расстояния до точки горизонта на вещественном уровне прямой, l = p + q. В этом случае под длиной кривой будем понимать значение интеграла
Условие (3) является достаточным для того, чтобы функция F(X) = f (h,x) была непрерывной при переходе аргумента с одного масштабного уровня на другой. Именно в этом случае формула (2) переходит в классическую формулу. Таким образом, условие согласованности построений здесь выполняется.
Предположим, что в силу каких-то причин горизонт стал суживаться до точки. Тогда имеем p, q ^ 0 и в пределе получаем
Формула (4) почти совпадает с привычной формулой для длины кривой. Отличие состоит только в том, что производная берется по переменной х, а интегрирование проводится по переменной h. Данное отличие является принципиальным. Это будет видно также из примеров, которые рассмотрены ниже.
График задан на вещественном и первом микроуровне неархимедовой прямой. Пусть функция F(X) определена на вещественном и первом микроуровне неархимедовой прямой, т.е.
Все изложенные выше построения полностью переносятся на данную функцию, если переменные h, х заменить на х, X, а расстояния
a = ha + хa , p = hp + х p >
Остановимся на частном случае, когда
(2)
df(h, x) - df(h, x) ^ 0
(3)
dh dx
(4)
a
Y = F(X), X = x + x 1E = x + X, F(x + X) = f(x, X).
до точек горизонта p, q, l заменить на p 1, q1, l1 = p 1 + q 1. Запишем сразу окончательные формулы (индекс у параметров p 1, q1, l1 опущен). Длина кривой равна
Длина кривой с учетом вертикальных отрезков в точках разрыва.
Выше длина кривой определялась без учета длины вертикальных отрезков, которые соответствуют скачкам функции в точках разрыва. Если кривую представить как линию, начертанную непрерывным движением карандаша, то при подсчете общей длины кривой ее вертикальные отрезки учитываться должны. Для такого учета есть еще одна причина. Длина кривой — это функционал, который задается на разрывной функции. В большинстве задач величины разрывов имеют определенный физический смысл и оказывают влияние на развитие того или иного процесса. Поэтому если описание процесса осуществляется на языке вариационных принципов, то соответствующие функционалы должны зависеть не только от самой функции и ее производных, но и от величин разрывов функции. Описание длины кривой с учетом длины вертикальных отрезков можно рассматривать как образец для конструирования функционалов, учитывающих скачки функций (см. гл. 10).
