Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Общая длина равна
L + S = V1 + b2 (p - a) +1 a - b |(xe - x 0).
При a = b разрывов нет и последнее слагаемое равно 0. Пример 3. Пусть
F (X) = g (x) + h (X).
Тогда
(11)
L =
Dx.
Выражение в квадратных скобках от x не зависит, поэтому его можно вынести за знак интеграла. В результате получаем
L(l) =
p - a l
1 + h2(X)dX.
(12)
Данный результат имеет ясный смысл. Неформально его можно описать таким образом. При взгляде на график функции (11) невооруженным глазом мы видим кривую g (x). Если же посмотреть на кривую (11) в микроскоп, то мы увидим, что вся она собрана из многократно повторенных кривых h(X), -p < X < q. Второй сомножитель в формуле (12) представляет длину этой кривой, а первый — число данных кривых, «прикрепленных» к графику g (x). Так как перенос кривой h(X) как жесткого целого длину ее не меняет, то естественно, что в формулу (12) функция g (x) не вошла. Оказалось, что длина кривой (11) от функции g (x) вообще не зависит.
Если l ^ 0, то формула (29) переходит в следующую:
L(0) = (p - a)71 + h2(0).
Видно, что при l ^ 0 кривая h(X) заменяется отрезком прямой, касательным к кривой в точке X = 0.
Вычислим длину вертикальных отрезков
S = (p, q) J
x0
g(x + q) - g(x - p) + h(-p) - h(q)
l
l
Dx.
Ограничимся случаем, когда выражение под знаком модуля является положительным. Тогда
S = g(xe) - g(x0) + [h(-p) - h(q)]
a
Общая длина равна
L + S = U1 + hX2(X)dX + g(xe) - g(x0) +
- p
+ h(-p) - h(q) (xt - x0).
Если p, q, l ^ 0, то
L + S = ^ 1 + h|(0) • (b - a) + g(xe) - g(x0) + h'x(0) • (xe - x0). Результаты имеют ясный смысл.
Глава 10 Элементы вариационного исчисления
Длина кривой дает пример функционала от заданной функции. Представляет интерес исследование функционалов более общего вида, которые можно использовать для формулировки различных вариационных принципов.
Вариационные принципы играют фундаментальную роль во многих областях математики и физики. Хорошо известна их большая эвристическая ценность. При переходе к неархимедову пространству появляется проблема формулировки уравнений на различных масштабных уровнях. Вариационные подходы представляют собой мощное и достаточно универсальное средство для решения подобных проблем. Рассмотрим пример интегрального функционала.
§ 44. Условия стационарности интегрального функционала
Пусть некоторая функция и определена на вещественном и первом микроуровне X = x 1 • E неархимедовой прямой OX. Предположим, что детали поведения функции на микроуровнях меньших масштабов значения не имеют. Продолжим функцию на данные масштабы по непрерывности с уровня X = X. Теперь можно считать, что
X = x + X, u(X) = u(x, X),
где x — переменная вещественного масштабного уровня, а переменная X пробегает значения как первого микроуровня, так и значения X меньших масштабов. Это означает, что производные функции и (x, X) по аргументу X могут рассматриваться в смысле limit:
и = du (х,X) = limit и (х,X + DX) - и (х,X)
X dX Д4—0 DX
где DX — 0 означает, как и прежде, что limit (DX) v = 0.
V—ot
Пусть
Y = Y(x, X, u(x, X), (x, X))
— достаточно гладкая функция своих аргументов. Аргументы x, X будем опускать. Если u(x, X) задано, то Y является функцией аргумента X = x + X. Нас будут интересовать интегралы от данной функции (то есть интегральные функционалы)
Р
(p, q) j Y-dX,
a
где
a = x0 - p, Р = xe + q,
p, q — расстояния до точек горизонта, l = p + q. Уточнение (p, q) перед знаком интеграла будем опускать. Интеграл можно записать таким образом:
Р Р Г1 q
- j Y(u(x, X), Ux(x, X))dX
j Y(u (X), uX (X))dX = j
Dx.
Если функция непрерывна на стыке вещественного и первого микроуровня, то мы попадаем в условия классического вариационного исчисления. Однако больший интерес представляет случай, когда между масштабными уровнями возможен разрыв. Разрывы реализуются в точках
X = x0 + q, x0 + q + l, x0 + q + 2l,...,xe - p (1)
и равны по величине:
u(x0 + l, -p) - u(x0, q);
u(x0 + 2l, -p) - u(x0 + l, q);... (2)
u (xe, -p) - u (xe - l, q).
Подсчитаем вначале сумму разрывов (2) во внутренних точках (1). Мы хотели бы придать этой сумме вид интеграла (9) § 37. Согласно определению 37.1, для любой функции R(x)
xe
(p,q) jR(x)Dx = R(x0 + p)Dx + R(x0 + p + l)Dx +... + R(xe- q)Dx. (3)
x0
Для того чтобы сумма разрывов (2) совпала с правой частью (3), необходимо положить
R(x) = u (x + q, -p) - u (x - p, q)
