Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
(4)», понимая под этим выполнение условий (3), (4). Поэтому первый вопрос, который необходимо решить при построении теорий следующего уровня, это продолжение «натурального» ряда (4). Члены продолженного ряда будут играть роль номеров продолженных числовых последовательностей. Классы эквивалентности таких последовательностей образуют объекты, которые играют ту же роль, что и вещественные числа в классическом анализе. На данной основе можно строить понятия пределов, рядов, производных и интегралов, т.е. можно строить математический анализ со степенью разрешения 3 и выше.
Таков общий план. Перейдем к реализации первой его части.
§ 53. Алгоритм построения теорий с высшими степенями разрешения
В данный алгоритм должны вписываться способы построения анализа-1 и анализа-2. Несколько изменим принятую терминологию, введя в нее указание на соответствующие номера теорий. Изначально заданный натуральный ряд 1, 2, 3... назовем натуральным рядом типа 1 (блок 1, рис. 13.1). Соответствующие (абсолютные) рациональные числа назовем рациональными числами типа 1.
Последовательностями типа 1 назовем последовательности рациональных чисел типа 1, занумерованные натуральными числами типа 1.
Предположим, что мы располагаем пространством таких последовательностей (блок 2). Дальше возможны два пути. На первом мы переходим к блоку 3. Возьмем ограниченные последовательности и разобьем их на классы эквивалентности, используя следующее условие: две последовательности rn и r’n отнесем к одному классу, если для любого M найдется такое Р, что при n > P будем иметь Irn - r’n|< 1/M (ЧислаМ,Ри все индексы принадлежат ряду 1, 2, 3... .) Данные совокупности назовем неординарными вещественными числами типа 1. На их основе можно построить неординарный математический анализ-1 (блок 4). Если дополнительно потребовать, чтобы последовательности были фундаментальными, то указанные
Натуральный ряд типа 1 l_L
1, 2, 3,..., т,..., и,..., М,..., N....
Последовательности рациональных чисел
Г1> V- V"
Ограниченные 3 последовательности lr I < М
П
Неординарные вещественные числа
Неординарный
математический
анализ-1
7777777777777777777777777
Фундаментальные
последовательности
lr-r\ < ^
пт
Вещественные числа
«4
Вещественная прямая
Классический математический анализ - анализ-1
7777777777777777777777777
Элементарные числа 6
типа 2
A=Lim rn,
1 r -r'\ =0
n n
<»(2)=Lim n
Рис. 13.1.
их совокупности будут представлять собой вещественные числа (по Кантору). Назовем их вещественными числами типа 1. На данной основе строится классический математический анализ (анализ-1) (блок 5).
Другой путь состоит в переходе от блока 2 сразу к блоку 6. Элементарным числом типа 2 назовем класс эквивалентности последовательностей rn, которые могут отличаться только числом членов, равным некоторому натуральному числу типа 1. Обозначения следующие:
Далее образуем ряд
1,2,3... w(2),w(2) + 1,...m,...,v,..., (2)
который ^азовем ^атураль^ым рядом типа 2 (блок 7, рис. 13.2). Результаты арифметических операций с числами из датого ряда ^азо-вем рацио^аль^ыми числами типа 2. Числовым последовательто-стям, за^умерова^^ым числами из ^атураль^ого ряда типа 2, будем также приписывать тип 2 (блок 8). Теперь такие последовательтости могут состоять из элеменгартк чисел (1) и, в частаости, из рацио-^аль^ых чисел типа 2. Рацио^аль^ые числа r типа 1 отождествляются с рацио^аль^ыми числами типа 2 посредством процедуры r ^ Lim r с сохра^е^ием обоз^аче^ия Lim r = r.
Для дальнейших построений снова есть два пути. Первый путь состоит в переходе к блоку 9. Берем ограниченные последовательности AV (| AV | < Л для любого v из (2); Л — некоторое число из (2)). Относим последовательности AV и A'V к одному классу, если |AV - AV |< 1/ Г для любого Г из (2) и v > 1 (Г), 1 — число из (2). Данные классы назовем неординарными вещественными числами типа
2. По-видимому, это слишком широкая числовая система. Поэтому вопрос о построении на ее основе неординарного анализа-2 не рассматривался и даже не ставился. Сузим данную числовую систему, потребовав дополнительно фундаментальность числовых последовательностей. В результате придем к многомерной системе вещественных чисел типа 2, т.е. к многомерной области существенных чисел. Следующий шаг состоит в том, чтобы из многомерной области выделить линейно упорядоченную одномерную подобласть. В результате придем к неархимедовой числовой прямой типа 2 (блок 10). На основе указанных систем строится анализ-2.
Вернемся теперь к блоку 8 (см. рис. 13.2). Второй путь движения от этого блока состоит в том, чтобы сразу перейти к блоку 11.
Элементарным числом типа 3 назовем класс эквивалентности последовательностей элементарных чисел типа 2 таких, что |AV - A’v | = 0 при v > Л, где Л — некоторое число из натурального ряда типа 2. Для случая, когда AV = v, используем специальное обозначение
