Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
будет иметь одно и то же значение для Ф0 и для Фх; следовательно, двойной интеграл
аналогичный интегралу (5) из п. 305, будет иметь одно и то же значение для Р0 и Кроме того, он существенно положителен.
Отсюда вытекает, что результаты п. 306 применимы к замкнутым кривым С о, лежащим внутри Б, и что результаты п. 308 приложимы к инвариантным кривым К или, по крайней мере, к части этих кривых, лежа-<щпх внутри Б.
Теория последующих
171
Даже если инвариантная кривая покидает область П при достаточном продолжении, результаты будут приложимы к части этой кривой, лежащей внутри этой области.
Приложение к уравнениям динамики
312. Пусть Р — функция четырех переменных хх, х2, Ух, у2; составим канонические уравнения
dxt dF dy; dF
dt ~dy{’ dt dXf'
(1)
Я предположу, как я это обычно делаю, что:
1) F — периодическая функция от ух и у2;
2) F зависит от параметра р и разложима по степеням этого параметра в виде
/W0 + ^1 + p.V1+
3) F0 — функция только от хг и х2.
При этих условиях мы будем иметь интеграл
F = C, (2)
где С — постоянная.
Установив это, дадим С значение, определенное раз навсегда, и пусть М — подвижная точка, прямоугольные координаты которой суть
I1 + (xi) cos У\] cos Vv I1 + <Р (xi) cos l/J sin y2, <p {Xx) sin yx.
Функция tp (хг) — функция ОТ Xx, которую я в дальнейшем определю более точно.
Предположим сначала, что F, которое будет зависеть каким-то образом от х2, разложимо по возрастающим степеням хг cos Ух и a^sin уг. Отсюда следует, что при хг=0 функция F не будет зависеть более от уг и, с другой стороны, что функция F не будет изменяться при замене Хх на —хх и Ух на У1+гс. Таким образом, мы предположим, что <р (а^) — нечетная функция от Хх, которая возрастает от 0 до 1, когда хг растет от 0 до +оо; например, можно взять
Если принять это предположение, точка М всегда будет находиться внутри тора радиуса 1, касающегося оси z.
Каждой точке М внутри этого тора будет соответствовать бесконечное число систем значений ху, Ух и Уг, однако эти системы не будут существенно различаться между собой, поскольку они переходят друг в друга при увеличении Ух или у2 на кратное 2 тс или при замене хг на —ху и у, на z/i+tc.
172
Новые методы небесной механики. III
Если задать хъ уг и у2, то х2 получится из них при помощи уравнения (2). Предположим, что переменные х ж у меняются согласно уравнениям (1); тогда соответствующая точка М опишет некоторую кривую, которую я назову траекторией.
Через каждую точку внутри тора проходит одна и только одна траектория.
Легко видеть, каков вид этих траекторий при р=0.
При р=0 дифференциальные уравнения сводятся к следующим:
^1 — п
й? ’ йЛ йх^'
Следовательно, х{ — постоянные, что показывает, что наши траектории расположены на торах и что у. — линейные функции времени; ибо производная
зависящая только от ж,., есть постоянная.
Если пг и п2 — соизмеримы, то траектории суть замкнутые кривые, они, наоборот, не замкнуты, если эти величины несоизмеримы.
Пусть пг1, тг, р1г р2— четыре таких целых числа, что
т{Р2 т2Рг== ^ >
положим
У[ = т1У1 + т2У2>
Уг = Р1У1+РгУг>
Х[ = РА — Р1Х2* х’2 — -тд + тхх2.
Тождество
х[у[ + Хгу2 = Х-1у1 + х2у2
показывает, что при переходе от переменных г/; к переменным х\, у', мы не изменяем канонической формы уравнений.
Предположим, что п2 не обращается в нуль, когда хг остается меньше некоторого предела а. Тогда йу2!& всегда будет сохранять один и тот же знак, и мы будем иметь, например,
^>0-
Это неравенство, верное при р = 0, будет верным также при малых значениях р.
В таком случае соотношения
у2=0, 1^1 < а— е
Теория последующих
173
определят некоторую плоскую область Б, которая притом будет иметь форму круга.
Тогда траектории, выходящие из точки этой области, никогда не будут касаться плоскости, проходящей через ось г, по крайней мере, до нового пересечения с полуплоскостью у2=0.
Следовательно, наша область сможет играть роль области Б из п. 310. Уравнения (1) допускают интегральный инвариант
^ (1хг(1х2йу х(1у2,
откуда мы выводим следующий интегральный инвариант при помощи интеграла /^сопзС
т ____ ( йХ1<1ухйу2
} '
йх2
Но производная йР1йх2 равна —(1у21& и, следовательно, отрицательна. В таком случае инвариант J является положительным инвариантом.
Результаты пунктов 306 и 308 применимы, следовательно, к кривым, проведенным в области Б.
При этих предположениях пусть Ъ — значение хг, меньшее а— е, и такое, что соответствующие значения п1 и п2 удовлетворяют соотношению
Пг1И1 + ЩП2 — 0, где тп1 и гп2 — два целых взаимно простых числа.
Кривая
х1 =Ь,
являющаяся окружностью, будет инвариантной кривой при р=0.
Предполагая опять р=0, получим для траекторий, выходящих из различных точек этой окружности, общее уравнение
у1 = ?г1^сопз1, у2=/гг?+сопз1;,
откуда
Ух = г Уч + сопзЬ-"2
Для того чтобы получись последовательные последующие заданной точки, достаточно положить последовательно
У2 ~ Уг — 2п> У2~/кп> ? ? ?. Уч = 2кп-
Чтобы перейти от точки к ее последующей, достаточно, следовательно, увеличить уг на
2 ъпх 2ъ.т2
