Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
dx„
хг х2 х„
Однако если я называю Р точку, движение которой определено уравнениями (1), и Р' — точку, движение которой определено уравнениями (Ibis), то мы видим, что эти две точки описывают одну и ту же траекторию, но по различным законам.
Если я назову t момент времени, когда Р проходит через точку своей траектории, а ? — момент, когда Р' проходит эту же самую точку, то эти два момента времени будут связаны соотношением
При этом мы имеем
dt 1
dt' ~ М
d (MX'i)
dxt
? о,
что означает, что уравнения
dx{
х; (ibis)
dt'
допускают интегральный инвариант
^ Mdxidx2 ... dxn. (2bis)
Допустим, что функция М всегда положительна и что она стремится к нулю, когда точка хг, х2, . . ., хп удаляется в бесконечность, и притом достаточно быстро, чтобы интеграл (2bis), распространенный на область V, был конечен.
Выводы п. 297 и следующих приложимы к уравнениям (Ibis). Следовательно, уравнения (Ibis) обладают устойчивостью по Пуассону.
Я уточняю мою мысль.
Мы имеем
Нтг-- <3>
о
Поскольку функция М существенно положительна, t будет возрастать вместе с t'\ по, так как М может обратиться в нуль, то может случиться,
что интеграл в правой части (3) будет бесконечен.
Предположим, например, что М обращается в нуль при t' = T‘, тогда t будет бесконечным при
t'= Т или t' ]> Т.
Устойчивость по Пуассону
157
Рассмотрим траекторию точки Р'\мы можем разделить ее на две части — первую С, которую Р’ проходит от момента ?'=0 до момента 1' = Т, вторую — С", которую Р' проходит от момента = Т до $' = оо.
Точка Р будет описывать ту же траекторию, что и Рг, но она опишет только часть С, ибо она может достигнуть части С' только по истечении бесконечного времени I.
Для механика траектория Р будет состоять, следовательно, только из С\ для аналитика она состоит не только из С, но и из С', являющейся ее аналитическим продолжением.
Рассмотрим точку положение которой определено следующим образом: точка Рх будет занимать в момент то же положение, что и точка Р' в момент что же касается оно будет определено равенством
Движение точки Рх будет происходить в соответствии с уравнениями (1), и эта точка опишет С', так что можно рассматривать траектории точек Р и Рг как аналитическое продолжение одна другой.
Предположим теперь, что точка Р в начальный момент времени лежит внутри некоторой области ио. Если начальные условия движения не являются исключительными в смысле, данном этому слову в п. 296, то траектория точки Р ж ее последовательные аналитические продолжения пересекут бесконечное число раз область С70, какой бы малой она ни была. Однако может случиться, что точка Р никогда не войдет в эту область, потому что эта область пересекается не траекториями точки Р в собственном смысле, а их аналитическими продолжениями [13].
303. Это приложимо к задаче трех тел.
Выше мы видели, что необходимо рассмотреть интеграл
Но мы видели, что этот интеграл, взятый но области У, бесконечен, и это помешало нам заключить об устойчивости по Пуассону.
Запишем уравнения движения в виде
^ с1х1 ... йх^йх[ ... йх\,
который мы свели при этом к шестикратному интегралу
~\*/і АххАх2...йх^
)'
где Х< и У( — функции от х{ и х\.
158
Новые методы небесной механики. III
Тогда пусть
М =__________-_____-______________
(*г + xi + *з + • ? ? + + 1 )2 ’
и запишем новые уравнения
dx,- _ Х( dx'i _ Yf
~dtr ~М~ ’ 4P ~М '
Новые уравнения допускают в качестве интегрального инварианта J Mdx1 . . . dxsdx[ . . . dx?,
или же
l' (v h — а1 + gj + aI dxidij ... dxs д/
H 21 )
Но этот интеграл конечен.
Следовательно, если начальное положение системы таково, что точка Р пространства двенадцати измерений, координаты которой суть хъ х2, . . .
. .., ж6; х[, а-', . . ., х'в, в начальный момент времени лежит внутри некоторой области U0, то траектория этой точки и ее аналитические продолжения [13], как мы их определили в конце п. 302, пересекут эту область Uй бесконечное число раз, по крайней мере, если начальное положение системы не является исключительным в смысле, данном этому слову в п. 296.
304. На первый взгляд кажется, что это следствие может интересовать только аналитика и не имеет никакого физического смысла. Однако этот взгляд пе совсем оправдан.
В самом деле, можно заключить, что если система не проходит вновь бесконечное число раз сколь угодно близко от своего первоначального положения, то интеграл
СО
?! + х\ + • • ? + + Н2
*=0
будет конечен.
Это предложение верно, если оставить в стороне некоторые исключительные траектории, вероятность которых равна нулю в смысле, данном этому слову в п. 296.
Если этот интеграл конечен, то мы заключим, что промежуток времени, в течение которого периметр треугольника, составленного тремя телами, остается меньше заданного количества, всегда конечен.
Глава XXVII ТЕОРИЯ ПОСЛЕДУЮЩИХ [14]
305. Представляя теорию интегральных инвариантов в слегка видоизмененной форме, мы можем вывести из нее еще ряд заключений, которые будут полезны в дальнейшем.
Начнем с изучения простого примера. Пусть дана точка, координаты которой в пространстве суть х, у и z и движение которой определяется уравнениями
