Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сравните «Геометрические фигуры», пункт 2.
7. В перефразе дважды встречается важное замечание «при том условии, что все наши выводы обратимы». Это интерполяция. В оригинале нет ничего подобного, и отсутствие этого условия было замечено и подверглось критике в наше время. (См. «Вспомогательная задача», пункт 6, где излагается понятие «обратимой редукции».)
8. В перефразе в совершенно иных выражениях, чем в оригинале, объясняется анализ «задач на доказательство». Но в самом смысле этого объяснения изменений нет. Во всяком случае, мы не намеревались изменять смысл. В пере-фразе анализ «задач на нахождение» объясняется более конкретно, чем в оригинале. Оригинал, по-видимому, стремясь описать процесс несколько более общего характера, строит систему эквивалентных вспомогательных задач. У нас они описываются в статье «Вспомогательные зада-ч и», пункт 7.
137
9. Во мйогих элементарных учебниках геометрии имеются кое-какие замечания относительно метода анализа и синтеза и кое-что о «допущении задачи решенной». Эта прочно укоренившаяся традиция восходит, несомненно, к Паппу, хотя вряд ли есть такой современный учебник, автор которого был бы в какой-то мере знаком с трудами самого Паппа. Метод этот столь важен, что о нем следует упоминать в элементарных учебниках. Но этот метод часто неправильно понимается. Уже одно то обстоятельство, что он находит свое отражение лишь в учебниках геометрии, показывает, что в настоящее время наблюдается недопонимание значения этого метода. Если вышеизложенные комментарии содействуют лучшему его пониманию, то с лихвой оправдывается то значительное место, которое мы уделили ему.
В статье «Работать от конца к началу» читатель найдет еще один пример, другую точку зрения и дальнейшие замечания по этому вопросу.
Сравните также Reductio ad absurdum и «Косвенное доказательство», пункт 2.
Парадокс изобретателя. Более сложные планы могут иметь больше шансов на успех.
Это звучит парадоксально! Однако, переходя от одной задачи к другой, мы часто видим, что с новой, более результативной задачей бывает легче справиться, чем с первоначальной. Иногда легче ответить на большее число вопросов, чем на одан единственный вопрос, легче доказать более общую теорему и решить более общую задачу.
Парадоксальность исчезает, если мы ближе ознакомимся с некоторыми примерами («Обобщение», п. 2; «Индук-цияи математическая индукция», п. 7). Более результативные планы могут иметь больше шансов на успех в том случае, если онн базируются не на каких-то необоснованных притязаниях и поверхностных наблюдениях, а на глубоком понимании существа вопроса.
Педантизм и мастерство — два диаметрально противоположных подхода к правилам.
1. Применять правило, следуя его букве, строго, слепо, подходит ли оно или не подходит,— это педантизм. Среди педантов есть несчастные глупцы, никогда не понимавшие того правила, которое они так добросовестно и без разбора применяют. Другие педанты более удачливы: они понимают применяемые ими правила, во всяком случае понимали их
138
раньше, до того, Как стали педантами; они подобрали себе хорошее правило, которое подходит ко многим случаям и лишь изредка себя не оправдывает.
Применять правило естественно, непринужденно, рассудительно, подмечая те случаи, к ^ которым оно подходит, никогда не давая букве правила заслонять собой цель предпринимаемого шага или скрыть возможности, которые предоставляет обстановка,— это мастерство.
2. Вопросы и советы нашей таблицы могут быть полезны как учащемуся, самостоятельно решающему задачи, так и преподавателю. Но, во-первых, их надо понять, научиться правильно пользоваться ими, изучить их, овладеть ими, пройдя через удачи и неудачи, необходимо приобрести опыт работы с ними. Во-вторых, не нужно применять их педантично. Нельзя задавать вопросы или давать советы, следуя твердо установившейся привычке. Надо быть готовым к различным вопросам и советам и прислушиваться к голосу здравого смысла. Вы решаете трудную и захватывающую задачу; следующий ваш шаг должен быть подсказан внимательным и непредубежденным рассмотрением задачи; вы хотите помочь учащемуся; ваши слова должны быть основаны на дружеском понимании его затруднений.
Если же вы склонны быть педантом и должны непременно опираться на какое-нибудь правило, то выучите следующее: прежде всего всегда пользуйся собственными мозгами.
Подсознательная работа. Как-то вечером, обсуждая со своим знакомым одного писателя, я не смог вспомнить его фамилии. Мне было досадно, ибо я довольно хорошо помнил один из его рассказов. Помнил я и какую-то историю, которую мне хотелось рассказать о самом писателе; словом, я все помнил, кроме фамилии писателя. Я снова и снова силился припомнить его фамилию, но тщетно. На следующее утро, как только мои мысли вернулись к досадному случаю, происшедшему накануне, имя писателя как-то само всплыло в моей памяти.
По-видимому, каждый читатель сможет припомнить подобный случай, произошедший с ним самим. А если он большой любитель решать задачи, то у него, вероятно, были подобные случаи и с задачами. Часто бывает, что у вас ничего не выходит с решением задачи, вы очень настойчиво работаете, но безрезультатно. Однако, когда вы возвращаетесь к задаче после ночного отдыха или через несколько дней, у васпояв-
