Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
ти сказать, рассматривается в другом месте данной книги в статье, посвя-щенной П а п п у — человеку, которому мы обязаны описанием этого метода.
I-1 I-1 і а Попытаемся найти ответ на сле-
фиг 18 дующий замысловатый вопрос: каким
образом можно принести из реки ровно шесть литров воды, если для измерения ее имеется только два ведра — одно емкостью в 4 л, другое в 9 л? Представим себе те орудия, с которыми нам придется работать: два ведра. (Что дано?) В воображении мы представляем себе два цилиндрических сосуда с равными основаниями, высоты которых относятся как 9 : 4 (см. фиг. 18).
Если бы на боковых поверхностях сосудов были равномерные шкалы из горизонтально нанесенных линий, по которым мы могли бы определить высоту уровня воды, то наша задача оказалась бы легкой. Однако такой шкалы нет, и поэтому мы еще очень далеки от решения.
Нам еще неизвестно, как точно отмерить 6 л. А могли бы мы получить какой-нибудь другой объем? (Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Сможете ли вы вывести, что-нибудь полезное из имеющихся данных?) Давайте же повозимся немного и все-таки предпримем что-нибудь. Мы могли бы наполнить большой сосуд, а затем из него налить меньший сосуд. Так мы сумеем получить 5 л. Сможем ли мы получить 6 л? Начнем сначала. У нас два сосуда, мы можем...
Теперь мы действуем так, как обычно делают большинство людей, которые пытаются решить эту головоломку. Мы начинаем с двух пустых сосудов, пробуем так и этак, опорожняем и наполняем, а потерпев неудачу, начинаем
152
снова, пробуя другой вариант. Мы работаем от начала к концу, от данного исходного положения к желанной конечной цели, от данных к неизвестному. После многократных попыток мы можем случайно найти решение.
2. Но очень способные люди или те, которые имели возможность на уроках математики изучить нечто большее, чем лишь t избитые математические приемы, не станут тратить слишком много времени на такие попытки, а «переворачивают задачу» и начинают работать от конца к началу.
Фиг. 19. Фиг. 20.
Что от нас требуется? (Что неизвестно?) Представим себе возможно яснее окончательное положение, к которому мы стремимся.
Представим себе, что перед нами большой сосуд с шестью литрами воды, а меньший сосуд пустой, как это изображено на фигуре 19. (Будем исходить из того, что требуется сделать, и считать, что искомое уже найдено, говорит П а п п.)
Из какого предшествующего результата могли бы мы получить желаемый окончательный результат, показанный на фигуре 19? (Выясним, из какого предшествующего вывода мог бы быть получен желаемый вывод, говорит П а п п.)
Мы могли бы, конечно, полностью наполнить большой сосуд, т. е. налить в него 9 л. Но в этом случае надо суметь отлить точно 3 л. Чтобы сделать это, в меньшем сосуде у нас должен быть только 1 л\ В этом вся идея (см. фиг. 20). (Этот шаг вовсе не простой и лишь немногие смогут сделать его сразу. В самом деле, правильно оценив значение этого шага, мы по сути дела в общих чертах уже имеем решение, описываемое ниже.)
Но каким образом можно прийти к положению, указанному на фигуре 20? (Выясним еще раз, как из данного поло-
153
жения получить положение, которое предшествовало ему.) Поскольку количество воды в реке для нас практически неограниченно, то положение на фигуре 20 по существу может быть сведено к тому, которое изображено на фигуре 21 или на фигуре 22.
Легко заметить, что если получить какое-либо одно из положений, изображенных на фигурах 20, 21, 22, то и любое
У7Ш
Фиг. 21.
Фиг. 22.
другое из них тоже можно получить. Но не так уж легко получить такое положение, как на фигуре 22, если оно не встречалось нам раньше, если мы не сталкивались с ним случайно в наших предварительных попытках. Когда мы возились с этими двумя сосудами, у нас, возможно, получалось нечто похожее, и теперь кстати будет вспомнить, что положение на фигуре 22 может возникнуть, например, так, как подсказывает фигура 23.
Мы полностью наполняем большой сосуд и отливаем 4 л в меньший сосуд, а из него выливаем воду в реку. Это мы проделываем дважды. Таким образом, мы в конце концов получила нечто известное (по словам П а п п а), и, следуя путем анализа, работая от конца к началу, мы нашли правильную последовательность действий.
Правда, мы открыли правильную последовательность в обратном порядке, но остается лишь обратить порядок этого процесса и начинать с того пункта, к которому мы пришли в конце анализа (как говорит П а п п). Сначала мы выполняем те действия, которые подсказываются фигурой 23, и приходим к фигуре 22„ затем мы переходим к фигуре 21,
154
затем к 20 и, наконец, к фигуре 19. Возвращаясь по пройденному пути, мы в конце концов добиваемся того, что от нас требовалось.
3. Открытие метода анализа греки приписывают Платону. Возможно, это и не совсем достоверно, но во всяком случае, если этот метод не был изобретен Платоном, то какой-то греческий ученый счел нужным приписать это изобретение гению философа.
В этом методе есть нечто незаурядное, есть и известная психологическая трудность: приходится стать спиной к цели, уходить от желаемого, а не идти к нему прямой дорогой, приходится работать от конца к началу. После того как мы раскрыли правильную последовательность действий, наши мысли должны следовать в порядке, противоположном действительному решению.
