Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Описанный прием может быть назван возвращением к определениям.
Возвращаясь к определению некоторого специального термина, мы освобождаемся от этого термина, вводя вместо него некоторые новые элементы, связанные определенными соотношениями.
Происходящее при этом изменение в нашем восприятии задачи может оказаться существенным. Во всяком случае, важно помнить, что любая новая формулировка, как вообще любое видоизменение задачи, может приблизить нас к ее решению.
5. Определения и известные теоремы. Если мы слыхали термин «парабола», имеем некоторое приблизительное понятие о форме этой кривой, но этим и ограничиваются наши познания, то они, конечно, надостаточны, чтобы при их помощи решить рассмотренную выше в виде примера задачу, так же как и любую другую серьезную геометрическую задачу, связанную с параболой. Какой же уровень знаний необходим для этой цели?
Геометрия как наука строится из аксиом, определений и теорем.
Понятие «парабола» не упоминается в аксиомах геометрии, в которых идет речь лишь о таких первоначальных понятиях, как «точка», «прямая» и т. д. Любое геометрическое рассмотрение, связанное с параболой, решение любой задачи, в которой идет речь о параболе, предполагают использование либо определения параболы, либо некоторых теорем об этой кривой. Решая подобную задачу, мы должны знать по крайней мере определение, хотя лучше иметь в своем распоряжении и несколько теорем.
125
То, что мы сказали в отношении параболы, верно, конечно, в отношении любого другого производного понятия. Приступая к решению задачи, связанной с подобным понятием, мы еще не можем сказать, что окажется удобнее в процессе решения: определение понятия или некоторая теорема, связанная с ним; однако ясно, что нам предстоит использовать либо одно, либо другое.
В некоторых случаях, конечно, мы не имеем выбора. Если нам известно лишь определение понятия и ничего более, мы вынуждены использовать это определение. Если наши познания ограничиваются определением понятия, то лучшее, что мы можем сделать,— это вернуться к определению. Однако если мы знаем много теорем, связанных с данным понятием, и обладаем достаточным опытом в оперировании им, то имеется вероятность, что мы найдем теорему, выясняющую интересующие нас свойства рассматриваемого понятия.
6. Различные определения. Сфера обычно определяется как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (в этом определении имеются в виду точки пространства, а не точки плоскости, как это было в предыдущем примере). Однако сферу можно определить и по-другому, например как поверхность, описываемую окружностью, вращающейся относительно своего диаметра. Известны и другие определения сферы.
Решая задачу, связанную с некоторым производным понятием, таким, как «сфера» или «парабола», и желая вернуться к его определению, мы должны остановиться на каком-либо одном определении из нескольких возможных. В подобном случае выбор подходящего определения может иметь большое значение.
Найдя площадь поверхности сферы, Архимед решил весьма важную и по тем временам чрезвычайно трудную задачу; Архимед должен был сделать выбор между различными определениями сферы, перечисленными выше. Он нашел удобным понимать под сферой поверхность, образованную вращением окружности относительно своего диаметра. При этом, он вписал в эту окружность правильный многоугольник с четным числом сторон, две противоположные вершины которого совпали с концами упомянутого диаметра. Этот правильный многоугольник аппроксимирует исходную окружность; вращаясь вместе с ней, он порождает выпуклую поверхность, состоящую из двух конусов, вер-
126
шины которых совпадают с концами рассматриваемого диаметра окружности, и ряда усеченных конусов. Эта поверхность, составленная из кусков конических поверхностей, аппроксимирует сферу. Архимед, рассматривая эту поверхность, получает возможность вычислить площадь поверхности сферы. Если бы мы под сферой понимали геометрическое место точек, равноудаленных от центра, это определение не могло бы столь естественно навести нас на мысль о возможности описанной простой аппроксимации.
7. Возвращение к определениям, играя важную роль в процессе решения задачи, не менее важно и при проверке решения.
Пусть некто объявляет о найденном им новом решении задачи Архимеда о вычислении площади поверхности сферы. Если он имеет лишь смутное представление о том, что такое сфера, в его решении мы напрасно будем искать какой-либо толк.
Пусть он даже имеет ясное представление о том, что такое сфера, но если при решении задачи он не использовал известных ему свойств сферы, мы не можем сказать, знает ли он вообще хоть что-нибудь о сфере. Такое решение никуда не годится.
Поэтому, знакомясь с ходом решения, мы ждем момента, когда о сфере будет сказано что-либо по существу, т. е. будет использовано либо определение сферы, либо какая-нибудь теорема о сфере. Если такой момент не наступает, решение никуда не годится.
Таким же самым образом следует проверять не только чужие, но, конечно, и свои собственные решения.
