Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
«То что называют эвристикой, можно кратко определить как особое собрание принципов, предназначенное для тех, кто после изучения обычных «Начал» имеет желание научиться решать математические задачи; изучение эвристики полезно лишь для достижения этой цели. Эвристика создана трудами трех людей: Евклида, автора «Начал», Аполлония из Перги и Аристея старшего. Она обучает приемам анализа и синтеза».
«Исходным пунктом анализа является то, что требуется доказать, ибо допускается, что задача уже решена. Из этой задачи мы делаем выводы, а из этих выводов делаем другие выводы и т. д. до тех пор, пока не придем к такому выводу, который можно использовать как начало синтеза, ибо при анализе мы считаем уже выполненным то, что по условиям задачи требуется сделать (искомое уже найденным; то, что требуется доказать,— доказанным). Мы определяем, из какого предшествующего вывода можно получить интере-
1 См. Т. L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Cambridge, 1908, vol. I, p. 138. (Примечание автора.)
132
сующий нас вывод, затем вновь определяем, из какого вывода можно получить этот предшествующий, и т. д., переходя от одного вывода к предшествующему, вызвавшему его, пока не придем к такому выводу, который был получен раньше или принимается за истину. Этот прием мы называем анализом или решением задач от конца, или регрессивным рассуждением».
«А при синтезе, меняя порядок этого процесса, мы начинаем с последнего вывода анализа, с того, что уже известно или принимается за истину. Беря известное за исходный пункт, мы делаем тот вывод, который предшествовал при анализе, и продолжаем, таким образом, делать выводы, пока, идя обратно по пройденному при анализе пути, мы, наконец, не приходим к тому, что требуется доказать. Этот прием мы называем синтезом или конструктивным решением, или прогрессивным рассуждением».
«Различаются два вида анализа. Один тип анализа — решение «задач на доказательство». Он ставит себе цель установление истинных теорем. Другой тип анализа — анализ решения «задач на нахождение». Этот вид анализа имеет своей целью найти неизвестное».
«Если перед нами «задача на доказательство», то мы должны доказать или опровергнуть четко сформулированную теорему А. Нам еще неизвестно, справедлива ли теорема А или нет. Но из теоремы А мы выводим теорему B1 из В выводим другую теорему С и т. д. до тех пор, пока, наконец, не придем к конечной теореме L1 о которой у нас имеются точные сведения. Если теорема L верна, будет верна и теорема А при том условии, что все наши выводы обратимы. На основании теоремы L мы доказываем теорему К, которая предшествовала при анализе теореме L. Продолжая таким образом, мы возвращаемся по пройденному при анализе пути; на основе теоремы С мы доказываем теорему В\ опираясь на теорему B1 доказываем теорему А и, таким образом, достигаем цели. Если, однако, теорема L несправедлива, то нами доказана тем самым несправедливость и теоремы Л».
«Если перед нами «задача на нахождение», то мы должны определить какое-то неизвестное X1 которое удовлетворяет четко сформулированному условию. Нам еще неизвестно, имеется ли такое значение х или нет, но полагая, что такое значение есть, мы выводим из него другое неизвестное Ij1 которое должно удовлетворять соответствующему условию. Затем мы устанавливаем связь между у и еще другим неизве-
133
стным и так поступаем до тех пор, пока, наконец, мы не приходим к неизвестному z, значение которого мы можем определить каким-нибудь знакомым методом. Если в самом деле есть такое значение г, которое удовлетворяет требуемому условию, то при условии обратимости всех наших выводов будет существовать и такое значение X9 которое удовлетворяет исходному условию. При этом поступаем следующим образом:
Сначала мы определяем значение г, затем, зная г, мы находим то неизвестное, которое в нашем анализе предшествует z. Таким способом, продолжая решение, мы возвращаемся по пройденному пути, и, наконец, зная у, мы находим искомое х. Цель, таким образом, достигнута. Если, однако, такого значения z, удовлетворяющего требуемым условиям, не существует, то задача, связанная с нахождением неизвестного xt не имеет решения».
Не следует забывать, что все вышеизложенное не точный перевод, а свободный пересказ, перефраза. Поскольку текст Паппа во многих отношениях очень важен, следует прокомментировать некоторые расхождения между оригиналом и нашей перефразой.
1. В нашей перефразе терминология более четкая, чем в оригинале, и вводятся символы A1 B1 L, X1 у, г, которых нет у Паппа.
2. В перефразе говорится «математические задачи», в то время как в оригинале имеются в виду «геометрические задачи». Этим мы подчеркиваем, что приемы, описанные Пап-пом, ни в коем случае не ограничиваются геометрическими задачами, а по существу они даже не ограничиваются и математическими задачами. Это последнее утверждение необходимо пояснить примерами, поскольку важно подчеркнуть, что описанные приемы имеют всеобщий характер и не зависят от содержания предмета.
3. Алгебраический пример. Найдите неизвестное X9 удовлетворяющее следующему уравнению:
