Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
109
другой, более прямой и ясный путь. Можете ли т получить тот же результат другим способом? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?
Желая получить этот результат более непосредственным путем, мы можем попытаться истолковать его геометрически. Так, мы можем подметить, что
есть длина образующей усеченного конуса.
(Образующая есть одна из боковых сторон равнобедренной трапеции, являющейся пересечением усеченного конуса
и плоскости, проходящей через его ось; см. фиг. 16.) Далее, мы можем увидеть,
что
есть среднее арифметическое периметров двух оснований усеченного конуса. фиг> i?. При взгляде на соответст-
вующую часть нашей формулы нам может прийти в голову написать ее в виде
Это выражение представляет собой периметр среднего сечения усеченного конуса {средним сечением мы здесь называем пересечение усеченного конуса с плоскостью, параллельной его основаниям и равноудаленной от них).
Обнаружив возможность такого истолкования отдельных частей нашей формулы, мы начинаем в новом свете видеть всю формулу. Мы можем прочитать ее теперь таким образом:
Площадь = периметр среднего сечения X образующая.
Здесь естественно вспомнить правило вычисления площади трапеции:
Площадь = средняя линия X высота.
(Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и делит высоту пополам.)
Интуитивно чувствуя аналогию этих утверждений, относящихся, соответственно, к усеченному конусу и трапеции, мы теперь оказываемся в состоянии усмотреть результат, относящийся к усеченному конусу, «почти с одного
по
взгляда». Эта значит, что мы начинаем чувствовать уверенность в том, что нам удастся получить короткое и прямое доказательство результата, найденного прежде при помощи длинных выкладок.
2. Изложенный пример типичен. Не удовлетворившись вполне найденным решением, мы желаем улучшить, видоизменить его. Для этого мы анализируем решение, стараясь лучше понять его, увидеть его с новой стороны. Вначале нам может удастся дать новое истолкование хотя бы отдельным небольшим частям полученного результата.
Затем нам может посчастливиться взглянуть по-новому на некоторые другие части.
Рассматривая одну за другой различные части результата, смотря на них с различных точек зрения, мы можем, наконец, прийти к тому, что весь результат в целом предстанет перед нами в новом свете. Осмысленный же по-новому результат нередко подсказывает новое доказательство.
Нужно признать, что все это имеет большую вероятность произойти с опытным математиком, решающим трудную и тонкую задачу, чем с начинающим, пытающимся одолеть элементарную задачу. Математик, обладающий обширными познаниями, подвержен большей опасности пустить вход слишком сильные средства и усложнить доказательство ненужным образом. Однако опытный математик в виде компенсации имеет то преимущество, что ему легче, чем начинающему, дать правильную оценку новым истолкованиям отдельных частей результата, чтобы затем придать новую форму всему результату в целом.
Тем не менее может случиться, что учащиеся, даже в одном из младших классов, предложат излишне сложное решение. В этом случае учителю следует продемонстрировать им, по крайней мере один-два раза, не только более короткое решение, но и то, как из самого результата извлечь указания о возможности решить задачу короче.
(Смотри также Reductio ad absurdum икосвенное доказательство.)
Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?
Осуществляя проверки, упоминаемые в этих вопросах, мы укрепляем свою уверенность в правильности, полученного решения; наши знания становятся при этом прочнее и надежнее.
Ш
1. Правдоподобие числового результата математической задачи может быть оценено, если сравнить этот результат с числами, наблюдаемыми в действительности. Обычный здравый смысл может часто подсказать нам, правдоподобен ли результат. Задачи, возникающие из практических потребностей или естественного любопытства, почти всегда имеют дело с наблюдаемыми фактами. Поэтому можно было бы предполагать, что возможность подобного сравнения с наблюдаемыми фактами редко не будет использована.
Однако каждый учитель знает, на какие невероятные вещи в этом отношении способны учащиеся.
Иной учащийся не испытывает никакого недоумения, найдя, что длина судна равна 4919 м или что возраст капи-тана> о котором, кстати сказать, известно, что он является дедушкой, равен 8 годам и 2 месяцам. Подобное пренебрежение очевидностью не обязательно свидетельствует о тупости, но скорее о безразличии по отношению к искусственным задачам.
2. Задачи «ё буквах» предоставляют возможность более разнообразных и более интересных проверок, чем задачи «в числах» (см. п. 14). В качестве нового примера рассмотрим усеченную пирамиду с квадратным основанием. Если сторона нижнего основания равна а, сторона верхнего основания равна b и высота пирамиды равна ft, мы находим, что объем этой пирамиды равен
gz + ab + b2 , 3 Я*
Этот результат мы можем проверить при помощи специализации. В самом деле, если Ь=ау усеченная пирамида становится призмой; при этом формула дает объем a2h\ если 6=0, мы получаем пирамиду; формула снова дает