Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
5°
15°
160°
170°
20°
1584
Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с постоянной скоростью. На каждом из перекрестков установлено по шлагбауму. Как только первая по времени машина проезжает перекресток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот перекресток. Какие из машин проедут все перекрестки на своем пути, а какие застрянут? Изменится ли ответ, если не предполагать равными расстояния между двумя последовательными пунктами?
136. Какому условию должно удовлетворять комплексное число а-\-Ы для того, чтобы его можно было представить в виде
где X — действительное число.
137. Определить значения коэффициентов а и Ъ, при которых многочлен
х* + ах? + Ьх2 — 8х + 4 является точным квадратом.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
159
138. Найти все действительные значения р, при которых система уравнений
х2 — у2 = 1, у —р X-\-q
имеет действительные решения при любом действительном значении д.
139. Доказать, что если одно уравнение с двумя неизвестными
ах2 + Ьх у + су2 — О,
где а, Ь, с — действительные числа, не равные нулю одновременно, имеет только одно действительное решение, т. е. существует только одна пара действительных чисел X и у, удовлетворяющих этому уравнению, то
Ь2 — 4ас< 0.
140. Найти число неподобных между собой членов разложения
(а-И-И)".
141. FI)T-CTb х, у, z — три целых положительных числа; р—наименьшее кратное чисел у и z, q — наименьшее кратное чисел z и X1 г—-наименьшее кратное чисел х и у. Пусть Р, Q, R — наибольшие общие делители тех же пар чисел. Доказать, что
(X у z)2 = pqrPQR.
142. Найти сумму
3 + 33+333+ . . . +333 ... 3,
п цифр
содержащую п слагаемых.
143. Найти коэффициент при а4с3 в разложении
(а — Ь — су.
144. Найти все значения т, при которых система уравнений
X — у = т( \ -\-ху), 2 + x+j/ + ху~0
имеет действительные решения.
145. Решить графически уравнение
Vx = *+ 0,2
(требуется определить число действительных корней и найти их с точностью до 0,1).
146. Доказать, что если числа a, O1 с, . . . положительны, ни одно из них не равно 1 и они состазляют геометрическую прогрессию, то числа
1 1 1
lg* W lg* W Ige N 9
где N — любое положительное число, не равное I, составляют арифметическую прогрессию.
147. Найти, при каких значениях k решение системы
x^-ky = 3, ^х + 4у = 6 удовлетворяет неравенствам
х>1, у>0.
148. Найти все корни уравнения
\l+tx)
і.
149. Найти все рациональные значения х, при которых выражение ]/ х2 — л: + 1 будет рациональным числом.
160
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
160. При каких значениях а и Ь функция
_ ах* + Ьх 4- 1
-.2
у х^ + Ьх-^а
не зависит от х. 161. 1°. Исследовать систему уравнений
(т2 — Ът + 3) а: + 2 (т — 2) у == 4 (/и — I)2, (1)
Ot2JC Ar 2 (2/ю — 3) у = 2 (Зт2 — 2яг + 3). (2)
2°. Найти зависимость между л: и у для любого решения системы (1), (2), не зависящую от т.
3°. Доказать, что уравнение (1) при всех значениях т имеет одно и то же решение; найти это решение; тот же вопрос по отношению к уравнению (2).
152. Доказать, что
153. Решить систему уравнений
У±*- = а, ±±± = Ь.' ?±? = с.
1 — у z 1 —XZ 1 — ху
154. Дано уравнение
Vx = У~а^х ArYb-X1 (1)
в котором X — неизвестное, а и b — положительные константы, причем а > Ъ\ для радикалов берутся арифметические значения.
1°. Решить уравнение (1); исследовать в зависимости от параметра bt
считая фиксированным а. 2°. Предполагаем, что условие, при котором уравнение (1) имеет корень, выполнено; доказать, что числа
a-\-b-\-Vb{a — b)
и
aArb — Vb(a — b)
положительны, которые мы, следовательно, можем обозначить через а2 и V2, где и и V — положительные числа. Установить затем, что если X0 — корень уравнения (1), то х0, а — д:0, b — X0 — квадраты линейных функций относительно UHV. Какие значения при этом
принимают радикалы Vа — ¦^o» Vb — и Vх(г Проверить еще раз выполнимость уравнения (1).
155. Поезд идет из Москвы в Ленинград. В поезде едут пассажиры: Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фамилии имеют машинист, кочегар и кондуктор. Известно, что:
а) пассажир Иванов живет в Москве;
б) кондуктор живет на полпути между Ленинградом и Москвой;
в) пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Ленинграде;
г) ближайший по месту проживания сссед кондуктора (пассажир) зарабатывает в год ровно втрое больше кондуктора; /
д) пассажир Петров зарабатывает в год 20 000 руб.;
е) Сидоров из бригады выиграл у кочегара партию на биллиарде. Как фамилия машиниста?
166. В финальном шахматном турнире воинского соединения встретились 8 шахматистов, имевших следующие звания: полковник, майор, капитан, лейтенант, старшини, сержгнт, ефрейтор и рядовой. Среди них были: пехотинец, летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер, связист и кавалерист.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
