Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
107. Числа 1, 2, 3, . .., 101 написаны в ряд в каком-то порядке. Доказать, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
108. Определить число целых неотрицательных решений уравнения
где а — целое число, большее 1,
(E (х)— наибольшее целое число, меньшее числа х или равное ему).
109. При каком наименьшем натуральном показателе имеет место неравенство
99Л + 100Л< 101".
ПО. На-йти две последние цифры числа 79°9.
111. Доказать, что число
(10"+1(T-1+ _ _|_і)(юя+і4-б)-И
есть точный квадрат.
112. Найти последнюю цифру числа
22*-[-1,
где п — натуральное число ;> 2. ИЗ. Дано: т— действительное число, п — натуральное число, не делящееся на квадрат натурального числа, большего 1, причем Vn*Cm- Доказать, что существует единственное натуральное число х, удовлетворяющее условию .
т — У п < Vх ^ т.
114. Найти наименьшее значение функции
J(x) = \x — x1\ + \x — х2\+ ... Jn]X-Xn],
где X1, х2, хг, Xn — данные числа, расположенные в возрастающем порядке: X1 < X2 < X3 < . . . < Xn.-
115. Отрезок AB делится на три равные части: AC = CD = DB, и отрезок CD удаляется из отрезка AB. Каждая из оставшихся частей (AC и DB) снова делится на три равные части:
AP = PQ = QC. и DR = RS = SB,
и средние части PQ и RS снова удаляются и т. д.
Доказать, что на отрезке AB найдутся такие точки, которые не будут удалены, сколько бы раз мы ни повторили эту операцию удаления частей.
116. Доказать, что любая пара целых чисел х и у, получающихся из формулы
x+yVb = ($ + AVb)n (л = 0, ±1, ±2, ± 3, . . .), удовлетворяет уравнению (Пелля)
X2 — 5у2=\, *
и обратно, все целые решения уравнения х2 — 5у2=\ получаются таким же образом.
117. Найти наибольшее значение функции
sin X -f - sin у -f- sin (x -f- y).
118. Доказать, что если — приближенное значение |/^2 (т и п — целые поло-
. iffi -І- тпті -4- 2л3
. жительные числа), то—-3 является лучшим приближением. Дока-
зать также, что если одно из этих приближений по недостатку, то другое — по избытку.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
157
119. Определить максимум функции
sin2 (л: + У) cos (х — у) -f- sin2 (х — у) cos (х -f- y)t
если
sin2 X -f- sin2 у = т.
120. При каком условии выражение х2 + y2-\-z2~\-t2 имеет минимум, если переменные х% у, z% t удовлетворяют равенству
тх -f- пу «f- pz-\-qt = А,
где т, /г, j9, g, А—-данные числа.
121. Доказать, что выражение
2х2 +Зх2 + б^2
можно представить в виде суммы трех квадратов линейных функций от х, у и z с целыми коэффициентами. .122. Найти все значения к, при которых уравнение
kAx —- Cx-i
имеет решение.
123. Сколько корней (действительных) имеет уравнение
2х= х + 3.
Вычислить их (без таблиц) с точностью до 0,1.
124. Доказать, что
WW + W = WW + W
([х]— наибольшее целое число, меньшее или равное х\ к~3,14159 ... ? = 2,71828 ...).
126. Доказать, что функции y — sinx и у — ех трансцендентные, т. е. не могут удовлетворять уравнению вида
а0(х)уп-\-а1(х)уп~1 + ... +аа(х) = 0.
где а0 (х), Ci1(X).....оп(х) — целые рациональные функции от х, причем функция а0(х) тождественно не равна нулю.
126. Доказать, что при 0 ср ^ ^ имеет место неравенство cos sin ср > sin cos ср.
127. Доказать, что наибольшие значения выражений
равны между собой.
128. Доказать, что если а, Ь, с — стороны треугольника, то корни уравнения
b2x2 + (b2+-c2 — a2)x-{-c2 = Q
будут мнимые.
129. Найти наименьшее значение функций
1) 2 V 2 ) 9
9 am + bm-\-xm I а + Ь + х\т
2) 3 \ 3 ) 9
причем а>0, ? > 0, яг > 1 и функции рассматриваются лишь при л:>0. 130. Четырехзначное число aabb— точный квадрат (а и b — цифры); найти это число.
158
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
131. Будем обозначать через M (а, Ь) общее наименьшее кратное двух чисел: а и Ь, а через D (а, Ь)— их общий наибольший делитель.
Доказать, что
M(а, Ь, с)D(a, O)D (щ-уу с)= abc.
132. Доказать, что уравнение
Спх + Спу = Сп2
имеет решения (целые положительные) при любом я.
133. Доказать, что уравнение
(-ЧН j у=1
при любом целом положительном п имеет относительно X и у одно и только одно решение в целых числах.
134. Доказать, что числа
не целые.
135. Из тридцати пунктов: A1, A2, A3, A30, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых додрг. Дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с ней углы, указанные в таблице:
N — начального пункта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
угол дороги с прямой MN
60°
30°
15°
20°
155°
45°
10°
35°
140°
50°
125°
65°
85°
8С°
80°
N— начального пункта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
угол дороги с прямой MN
75°
78°
115°
95°
25°
28°
158°
30°
25°
