Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 7. Для того чтобы из отрезков а, Ь> с можно было построить треугольник, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
?-|-?>C.
В самом деле, если из отрезков а, Ь, г. можно построить треугольник (положение A)1 то условие а4~#>с будет выполнено (положение B)1 так как сумма двух сторон треугольника больше третьей. Однако условие а-\-Ь>с недостаточно для того, чтобы из отрезков а, Ь, с можно было построить треугольник. Например, если а = 17, Ъ = 2, с = 3, то а -\- b > C1 однако не существует треугольника со сторонами 17, 2 и 3 (почему?).
Пример 8. Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы .квадрат одной из его сторон был равен сумме квадратов двух других сторон. W :;
Необходимость признака заключается в том, что если треугольник прямоугольный (положение A)1 то квадрат одной из его сторон (гипотенузы) равен, сумме квадратов двух других сторон (катетов) (положение В)—это теорема Пифагора.
Достаточность признака заключается в том, что если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. Эта теорема обратна теореме Пифагора (она тоже, конечно, верна). Отмечу, что на вопрос: «стороны треугольника равны 3, 4, 5; на основании какой теоремы можно утверждать, что этот треугольник прямоугольный?»— некоторые отвечают так: «на основании теоремы Пифагора», путая, таким образом, достаточный признак с необходимым. Ведь теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику (см. выше «необходимость»); как же можно утверждать, что треугольник прямоугольный на основании теоремы, которая устанавливает некоторое свойство (а именно а2-|-?2 — с2) прямоугольного треугольника. Это нелогично. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный не на основании теоремы Пифагора, а на основании теоремы, обратной для теоремы Пифагора (см. выше «достаточность» признака).
Верны ли следующие положения?
1. Если В есть необходимый признак A1 то будет ли А достаточным признаком В?
2. Если В есть достаточный признак Л, то будет ли А необходимым признаком В?
Ю П. С. Моденов
146
Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
.3. Если А есть необходимый признак B9 то будет ли А достаточным признаком В?
4. Если А есть достаточный признак B1 то будет ли В необходимым признаком Л?
5. В — необходимый признак А, а С—необходимый признак В. Будет ли С необходимым признаком А?
Указать, какие из перечисленных ниже признаков делимости являются необходимыми, какие достаточными, а какие необходимыми и достаточными.
6. Признак делимости числа* на 7: все цифры равны 7 (например, 777).
7. Признак делимости на 5: число оканчивается на 5.
8. Признак делимости четного числа на 5: число оканчивается цифрой 0.
9. Признак делимости на 8: число делится на 4 и на 2.
10. Признак делимости на 27: сумма цифр числа делится на 9.
11. Признак делимости на 2: число оканчивается или на 2, или на 6, или на 8.
12. Признак делимости на 5: последняя цифра делится на 5.
13. Каково необходимое и достаточное условие несовместности системы уравнений
а1х-\-Ь1у = с1, а2х -+- b2y = с2.
14. Каково необходимое и достаточное условие неопределенности этой системы?
15. Будет ли условие** а-\-Ь>с, а-\-с>Ь, Ь-\-с>а достаточным для того, чтобы из отрезков а, Ъ, с можно было построить треугольник?
16. Каково необходимое и достаточное условие того, что из отрезков а9 Ъ9 с можно построить треугольник?
В задачах 17—27 приводится список различных теорем; читателю предлагается установить, какое из выражений «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; надо поместить на место многоточия.
17. Для того чтобы сумма двух целых положительных чисел делилась на 2 ...
чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
18. Для того чтобы многочлен aQxn -f- а^-1+- . . . -\-ап делился на (л: — я)2. .., чтобы а было корнем этого многочлена.
19. Для того чтобы многочлен а0хп-\-аххп~х-\- ... +ал делился на (х — а)(х — ?)..., чтобы an? были корнями этого многочлена.
20. Для того чтобы целое число делилось на 100 чтобы это число делилось на 10.
21. Для того чтобы целое число делилось на 100..., чтобы это число делилось на 1000.
22. Для того чтобы было выполнено неравенство sinx>0..., чтобы были выполнены неравенства 0 < х < тс.
23. Для того чтобы было выполнено неравенство ~ < 1 .. ., чтобы х > 1.
24. Для того чтобы было выполнено неравенство ~ < 1 . . ., чтобы было или X < 0, или X > 1.
26. Для того, чтобы два треугольника были равны . . ., чтобы две стороны и угол, противолежащий одной из них в одном треугольнике, равнялись соответственно двум сторонам и углу, противолежащему одной из них в другом треугольнике.
* В последующих вопросах под словом «число» понимается сцелое положительное число».
** Условие заключается, таким образом, в одновременном выполнении всех трех неравенств.
Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ 147
26. Для того чтобы отрезок PQ лежал внутри треугольника ABC..., чтобы середина отрезка PQ лежала внутри этого треугольника ABC
