Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
параллельна и стороне, и диагонали квадрата, лежащего в плоскости (H), и, значит, (P) должна быть параллельна (H).
4°. Сечения (T) плоскостями, параллельными BD. Эти плоскости пересекают ABCD и A'B'C'D' по прямым, параллельным BD, а боковые грани — по прямым, перпендикулярным (H). Следовательно, в сечении получается прямоугольник. Рассмотрим два случая — первый, когда секущая плоскость пересекает
Черт. 267.
Черт. 268.
диагональ А'С в точке, расположенной между А' и О', и второй, когда эта точка лежит между точками О' и С_, иначе говоря, I:- 0 < х < а и II: а < х < 2а. I. В этом случае s = 2х (а ~{-х V3); в случае II_ s = 2 (2а — х) (a -f хУ~3). В первом случае график функции 5 = 2х (а -f- х Y3) — дуга параболы, ось которой
aV3 а врпшийя ( aV~3 a2Y~3\ х —--g— » d **сРштНс1 ^--g— , — —g— ); эта дуга ограничена началом
координат и точкой [а, 2а2 (I +У"3)]. В случае II кривая s=2(2a—x)(a + xYl$)—
также дуга параболы, выпуклость которой направлена вниз; ось x = a(l — -^g")»
вершина
к..
б /'
^(12+13/3)]; эта дуга ограничена точками
[а, 2^2(1 + 1/гЗ)] и (2а, 0) (черт. 267).
24. Г. Изучение сечения ABMNPQ (черт. 268). Плоскостью симметрии сечения является плоскость, проходящая через вершину S перпендикулярно AB. Далее PN\\ MQW AB. Прямая BM проходит через фиксированную точку В.
682
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Прямая QA — через точку А. Прямая MN проходит через точку G пересечения прямых AB и CD. Прямая PQ проходит через точку H пересечения прямых AB и EF (черт. 269).
С
Черт. 269.
2°. Геометрическое место точек пересечения пар прямых (MN и PQ)9 (BM и AQ). MN и PQ симметричны по отношению к плоскости (/7), проходящей через середину AB перпендикулярно AB. Значит, точка пересечения этих прямых лежит в плоскости (77); то же относится и к точке пересечения прямых BM и AQ. Рассмотрим сечения данной фигуры плоскостью (Jl) (треугольник aS? (черт. 270), где an? — середины сторон AB и DE). Легко доказать, что этот треугольник равносторонний (сторона равна д]/*3). Отметим еще в плоскости основания пирамиды
точки К, G, TuI пересечения продолжений сторон (черт, 271). Прямые AIiV и PQ суть прямые пересечения переменной плоскости с плоскостями граней CSD и EFS. Эти плоскости пересекаются по прямой SI и геометрическое место точек L пересечения MN и PQ есть отрезок SI (см. черт. 270), причем
?/ = O? = ^^. Прямые BM и AQ
суть прямые пересечения переменной плоскости с плоскостями граней CSD и EFS. Эти плоскости пересекаются по прямой SK, и, как видно из чертежей, точка L' их пересечения описывает продолжения KY и SY' отрезка SK за
S и К, прямые BM и AQ параллельны, если секущая плоскость парал прямой SK', точка L' в этом случае — бесконечно удаленная точка пря
удаленная
точки
лсльна пря.\ мой .SVC
Геометрическое место точек пересечения BM и PQ; AQ и MN. AD и ALV
симметричны BM и PQ по отношению к плоскости (17), поэтому достаточно рассмотреть пару прямых BM и PQ. Прямые BM и PQ суть пересечения переменной плоскости с плоскостями граней BSC и EFS; одна из этих плоскостей проходит через ВС, другая—параллельна ВС. Значит, прямая, по которой они пересекаются, есть прямая SX, проходящая через S параллельно ВС. Прямые BM и PQ пересекаются в точке L луча SX, идущего в направлении вектора ВС; все точки этого луча и есть геометрическое место точек пересечения прямых BM и PQ.
Геометрическое место точек пересечения BM и PN, AQ и PN. Рассмотрим лишь пару прямых: BM, PN Прямые BM и PN пересекаются на прямой ST. Геометрическое место точек их пересечения есть отрезок S7\
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
683
3°. В треугольнике SEH , SF и] HP -
значит, SQ — 3 SF. Аналогично из Д SDG имеем SM =
медианы, пересекающиеся в точке Q; 2
.SC Площадь сечения
ABMNPQ равна —5—. Объем
о
пирамиды SABMNPQ равен 13а3 УЗ 48
25,1°. Существует б отрезков, соединяющих данные точки попарно: AB9 AC, AD, ВС, BD, CD. Будем называть отрезки противоположными, если они не имеют общей вершины. Имеется три пары противоположных отрезков: (AB, CD), (AC, BD) и (AD, ВС). Пространственный четырехугольник мы получим, опуская какую-нибудь пару пространственных отрезков; значит, имеется три различных пространственных четырехугольника: ABCD9 ACBD9 ABDC Общая часть двух четырехугольников. Так как каждый пространственный четырехугольник мы получаем опуская пару противоположных отрезков, то у двух пространственных четырехугольников имеется пара общих противоположных отрезков.
2°. Фигура MNPQ — параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям AC и BD четырехугольника ABCD. Аналогично и для четырехугольников ACBD и ABDC (черт. 272).
Общая часть двух параллелограммов. Мы видели в п. 1°, что два пространственных четырехугольника имеют пару общих противоположных сторон; следовательно, соответствующие параллелограммы имеют две противоположные вершины и, значит, и общие диагонали.
3°. Фигура, образованная отрезками, соединяющими середины противоположных сторон и середины диагоналей, состоит из трех отрезков: QN, MP и IJ (черт. 273), пересекающихся в точке О — середине каждого из них.
