Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а Y3 , а УЗ , А условие X > —2--^ выполнено, так как —---/ < 0. Оба корня дают решение задачи. Мы, таким образом, снова приходим к результатам геометрического исследования: 1) если / < ~ (УЗ + У2) или I > 2а Уз, то не существует многогранника (Д), описанного вокруг сферы (Q); 2) если -^- (УЗ +У2) <> / < аУЗ, то существуют два (Д); 3) если аУЗ < I < 2аУз, существует один многогранник (Д).
3°. Отношение объема v многогранника (Д), описанного вокруг (Й), к его полной поверхности s. Мы видели в II, 2°, что объем V и поверхность s многогранника (Д) таковы: v = у аЧ YS, s = За {— х + ]/""~ (4л:2 + а2)} + — (a YS + 4.'). Ha основании (3), если (Д) описан вокруг сферы (Q), мы имеем Уз (4л:2 + а2) = = 2х — а УЗ + 21, откуда — х + ]/~ -| (4л2 + а2) = ^Lll^A. . В этом
о 31— аУЗ , За (Л п , і; 1 аУз
: з#-~--у — (а у 3 + 4/j == 9а/, значит, — = —«у—
случае , что действительно
составляет ~ от радиуса сферы (Q).
Частный случай многогранника (Д0). Многогранник (Д0) соответствует мини-
aY2 р
муму s и соответствующее значение X = —j—. Если при этом еще многогран-
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
691
ник (A0) описан вокруг сферы (V.), то указанное значение х должно быть решением уравнения (6), т. е. / (~^) = ^ -{21 —a YZ) + / (д >r3 —/)=0. Отсюда
находим лишь одно положительное значение для /, / = ~ (У~3 -f-V^).
Отношение объема и поверхности многогранника (A0) к объему и поверхности сферы, вписанной в этот многогранник. В рассмотренном случае
_ ЗФ ]/? (/3 + /2) 9а2 (!/"3 + Y2)
UQ _ , S0 —----g------.
Объем и поверхность сферы (O):
Зш2, отсюда
= A V"3 + /2 i? ^ 1 /3 +/2 V1 2 г. S1 2 '
Эти отношения имеют одну и ту же величину. Составляя разность
з Y з + Y2 _ 3 3 Y'3 + Y2 — -2 т. ' 2 ~~ 2 я " '
найдем, что эта разность < 0,003.
Глава XXVL Планиметрия со стереометрией Изучение линий (С), перспективных окружностям.
I. 1°. Пересечение линии (С) с прямой. Всякая линия (С) определяется как проекция из точки S на плоскость (P) окружности (Г). Пусть плоскость (Z7), параллельная (P) и проходящая через 5, пересекает плоскость (P1), в которой лежит окружность (P1), по прямой (G1). Если (G1) — бесконечно удаленная прямая, т. е. плоскости (P) и (P1) параллельны, то (С) является окружностью. Мы исключим этот тривиальный случай; тогда (G1) — прямая на конечном расстоянии, а ее проекция из точки S на плоскость (P) — бесконечно удаленная прямая этой плоскости. Пусть прямая (D1), по которой пересекаются плоскости (S, D) и (P1), встречает прямую (G1) в точке Z1. Всякая прямая плоскости (P1), проходящая через Z1, проектируется на плоскость (P) в прямую, параллельную прямой SZ1, т. е. в прямую, имеющую направление, определяемое бесконечно удаленной точкой J плоскости (P), где J — проекция из точки S на плоскость (P) точки Z1 (черт. 282). Если прямая (D1) пересекает окружность (P1) в точках т{ и пи то прямая (D) пересекает линию (С) также в двух точках: т и п, являющихся перспективами W1 и /Z1. Середина со отрезка тп гармонически сопряжена с точкой J относительно т и я, а так как гармонизм сохраняется при центральном проектировании, то точка со есть перспектива точки Co1 прямой (D1), гармонически сопряженной с точками Tn1 и п{ относительно точки Z1. Отсюда следует, что геометрическое место середин параллельных хорд тп линии (С) есть перспектива хорды р{д{ поляры (A1) точки Z1 относительно окружности (P1).
Черт. 282.
44*
692
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Черт. 283.
Исследование, a) (G1) не пересекает (Tx) (черт. 282). Всякой точке Ix прямой (G1) соответствует хорда pxqx, которая проектируется в отрезок pq — геометрическое место середин со хорд (A)^ / линии (С), параллельных тп.
Всякая прямая (D), имеющая это направление, пересекает линию (С) в двух точках, если она пересекает отрезок pq; не пересекает линию (С), если она [прямая (D)] не пересекает отрезок pq, и касается линии (С) (в точке р или q), если она проходит через точку р или точку q. Линия (С) в этом случае — эллиптического типа.
б) (Gi) пересекает (Tx) в точках tx и t[ (черт. 283). Пусть касательные (T1) и (F1) в точках tx и ^1 к окружности (Гх) пересекаются в точке O1, которая будет полюсом (G1) относительно (P1). Перспективы (Г) и (T') прямых (Tx) и (Т{) будут пересекаться в точке О, расположенной на конечном расстоянии, являющейся перспективой O1. Всякой точке / прямой (G1); лежащей вне отрезка ^1, соответствует хорда pxqx окружности (Гх), которая пересекает (G1) и которая проектируется (в силу сохранения разделенности пар точек при проектировании) в точки двух лучей прямой pq, внешних по отношению к отрезку pq. Точки этих двух лучей образуют геометрическое место середин хорд линии (C)1 параллельных (D). Линия (С) в этом случае гиперболического типа.
в) (Gi) касается (Tx) в точке O1 (черт. 284). Всякой точке Ix прямой (G1), отличной от O1, соответствует хорда ОхрХ1 перспективой которой будет луч рО (О — бесконечно удаленная точка), являющийся геометрическим местом середин хорд линии (C)1 параллельных пря- . мой (D). Линия (С) в этом слу-чае — линия параболического типа.
