Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Наибольшие и наименьшие значения
Ar
1. Квадрат. 2. h = у. 3. Квадрат. 4. Квадрат. 5. Если р — заданный периметр, то
P
радиус окружности равен —-, а центральный угол двум радианам. 7. а) Радиус
цилиндра равен -g- радиуса основания конуса; б) радиус цилиндра равен ¦g- радиуса
Ar
основания конуса. 8. а) Высота конуса равна , где г —радиус шара, б) обозначим через а угол наклона образующей конуса с основанием. Тогда полная
526 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
поверхность конуса будет Ar2 cos а (1 -j- cos а) sin2 а = Ar2 (— х4 — х3 + х* + •*). x = cos а. Вопрос сводится, таким образом, к отысканию наибольшего значения функции /(a) =» — jc4— а3 + а2 + хг если 0<х<1. Составляя разность /"(jc2) — /(jc1), получим:
f(Xd—f( Xl) = (Х2" Xl) (— — А Ч - *2 x1 - x^ — x* — X1X2 - xj + X2 + X1 + 1) . t
Положим, что в выражении, заключенном в круглые скобки, jc2 = Jc1, получим
— 4jc V— За:
-1, X2 =
V1-f 2.V1-f-1. Это выражение имеет корни x1 = X3 - ^=J^, и потому оно в интервале ^0, ) положительно, а в иптер-
1 + VVf
вале
(\ j- у Yj \
у—g-,1J отрицательно. Считая 0 < Jc1 < х2 <—-~-—, будем иметь
О < Jc1 <
JC1 +JC2
< Xo <
1 + У17
так что
-Ах} — 3jcj + 2jCj + 1 >0,
_4 (fi+^)3 - 3 р4^-)2 + 2 'IL+Z2 + ! > о,
—Ах\ — 3x1 + 2jc2 + 1 > 0.
Умножая среднее неравенство на 4 и складывая затем все неравенства, получим (после сокращения на 6) — х2 —х\хх~х2х\ — х\—X1-X1 х2~х\ + X2 + X1 + 1 > О,
/ і + VT? 1
так что /(a2) — /(X1) > 0; значит, на полуинтервале 10, —^- функция /(а) — возрастающая. Аналогично доказывается, что на полуинтервале ?LiJ^iZ t ij она убывающая и, значит, конус будет иметь наибольший объем,
* • 1+/17
если косинус угла наклона образующей к основанию равен —L____e
9. cos а = і где а — угод наклона образующей
о
конуса к основанию. При этом — »2. Для других
значений угла а, — > 2. 10. Если объем палатки
V2
равен vt то наиболее экономичные размеры таковы:
высота У V радиус основания У —• 11. ?0л/ X 100 jjf. 12. 4 ал* X 4 djK X 2 &tf. 13. Сто-
д + & — Va2 — ab + b2 j-y рона квадрата —¦--!—. Если a = bt
Черт. 92.
то сторона квадрата равна -^-. 14. вш*2тс
/і
радиан. 15. Указание. Метод решения аналогичен методу решения задачи Nk 8. а) ответ: 60°. 16. Длина AB бревна будет равна / =¦ AC +
4- CB=—— А—— , где а — угол наклона бревна к одной из стенок канала sin a cos a J г
(черт. 92). Наименьшее значение / и будет наибольшей длиной бревна, которое можно
сплавить из одного канала в другой. Угол « изменяется в интервале ^O1
Наименьшее значение / будет достигаться одновременно с наименьшим значением /2; имеем:
12 ^ [Jl- . _L\8 e (a + *tga)2(l + tg*a)_ ^ \sin а ' cos а) = tg2 а
Положим tg а =я а, 0 < X < + со; тогда вопрос сводится к отысканию наименьшего ч (a+ bx)2 (I 4-х2) /а а , 0 , , 2а& , да . 2 , А2 значения функции / (а) = і-V—11—- =3 b2*2 + 2abx + — + -rj+a2 + b2,
Ответы. § 1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 527
если 0 < X < + оо. Находим
/(*,) _ / (X1) = (хг - X1)[P (X2 + X1) + 2ab - Ц- - (J- + J-)].
Определим, при каком Xx = X2 выражение в скобках обращается в нуль:
2b2xx + 2ab — — = 0, (^x1 + а) /?----\ = 0, и так как 0 < X1 < + со,
X1 X1 у X1 J
у~а
а > 0, b > О, то X1 = I/ -у. Заметим, что если X1 и х2 положительны, то при
2ab а2 ( 1 . 1\
их уменьшении выражение X1 ~}-х2 уменьшится, а выражения -и —— (--1--1
XxX2 XxX2 \Х} X2)
увеличатся, так что выражение в квадратных скобках уменьшится, а так как оно
у~а у~~~а
равно нулю при X1 = X2 = |/ —, то при X1 < X2 < у -у оно будет отрицает
тельно, а при у —^xx < х2 положительно. Значит, /(х2) < /(X1), если
у "а у~а
х1<х2<|/ -у, и /(х2) >/(X1), если у -j- <X1 < х2. Таким образом, функция /(х) убывает на полуинтервале ^O1 l/^^J и возрастает на полуинтервале » ~Ь °°) і а потому /2, следовательно, и / имеет наименьшее значение при tg а = I/ ; отсюда
1 1
,3 Аз
і i I * j х L
следовательно,
а ¦ _*_в(Д+Д)2.
/ . = -1.
Ш1П sin а 1 COS а
17. Освещенность в точке M1 находящейся на расстоянии d от источника I1 следовательно, на расстоянии l — d от источника /2, равна J = к (~ -f- __2^2^),
где &— коэффициент пропорциональности. Имеем / =s -^2- JV1 -f-^у~^"^ ^Jj
полагая ^—-j = х, получим / = /г^—-—'^21 1-— • Вопрос сводится к оты-
2/ /
еканию наименьшего значения функции /(^) = /2^ + 2/^ + -^ + ^+^ + /2,
где 0 < х < + со, ибо х==у-^-^-. Исследование функции /(х) на возрастание и
убывание производится так же, как и в предыдущей задаче. Ответ: наименее освещенной является точка M1 отношения расстояний от которой до источника
у~Г г
света силой Ix к расстоянию от источника света силой I2 равно у 18. —^.
r '1 у 2
Глава IX. Последовательности
