Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
/»
у = 5 —4л: не имеет решений, удовлетворяющих условию Зл: + 4у<4, лг<-=-,
о
ибо из у = 5 — 4х, Зл* + 2у<4 находим: Злг+10 —8<4, 5л: > 6, лг>^-, что
5
6 TT
противоречит условию л: -g-. Итак, данная система имеет только одно реше-ние (3, 2). ЗЭ. (l01,V4 10-1+1"? (ю1-^, Ю-1-1"2^). 40. (1, 1), (-^-, -1).
,!ull 4 Ig3 4 5!2»3" 41. х = 3 J , y = Y-2-
§ 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функцию
1. 0 < к < а2 или 1 < X < -J3-. 2. 2 < л: < 3. 3. 0 < х < 2 — Ig2 3, л: > 1. 4. 1 < х < 10.
-j- со). 6. 1 < X < 2. 7. — 1 < ж < 1 или 3 < je < 5.
у а/ \ д2 угд.і J
8. Ig^p 2 < Ig, 4. 0<^<|, -^i^^-^, ^«_±_>а
2 lg2 + P) — І?Гг л g2 л: Л r.T . Л
—* 1 у ^ > 0, ,-,—-t—;—г > 0. Прежде всего должно быть X > 0.
^g2 * Ig2 (¦* + P) Ig2 * Ig2 (* + P)
Далее: a) Ig2 х > 0, если л: > 1, и Ig2 л: < 0, если 0 < х < 1; б) Ig2 (л: + /?) > 0, если л:+/7>1, т. е. х>1—р и Ig2 (л: + P) < 0, если 0 <хфр <\, т. е.
(х Ф р)2 (х Ф р)2
0 < X < 1 — р; в) Ig -—-~~?±- > 0, если -—L-LL. > 1; так как х > 0, то это нера-лг л:
венство эквивалентно следующему: (л: + р)2 > х% х2 ф (2р —\)хфр2>0. Корни
520 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
этого трехчлена хи 2 = у — р ± j/" — действительны и различны ^O < р < -^j.
Далее, X1X2 = р2> + х2 = 1 —2/7; так как X1 -\-х2 > 0 и X1X2 > 0, то оба корня
положительны. Докажем, что оба они меньше, чем 1 — р. В самом деле, х{-\-х2 = \— 2р=\—р — р<\—р. Значит, оба корня меньше чем 1 — р. Пусть X1 — меньший корень, a X2 — больший. (X+ P)2
x2 1-Я 1
x7 І
P
Черт. 85.
Тогда Ig2 X > х2;
Знаки Ig2 х, несены корень
> 0, если 0 < X < Xi или
X
(X + /7)2
Ig2 -— < 0, если X1 < X < X2.
на
X
Ig2 (X+P)* черт. 85. Так
, (X + pY
Ig2 T 7 на
как
меньший
равен =
а больший х2 ¦
будет выполнено, если
< X <1 —р или X > 1.
0<х<
-/?, то данное в условии задачи неравенство
4-'-/
или -~— р +
-р<
Глава VIII. Исследование элементарных функций
§ 1. Область определения
Выпишем корни подкоренного выражения в порядке их возрастания: 1, 2, 3, 4, 5. Если X < 1, то Есе разности х — 1, х — 2, х — 3, х — 4, х — 5 отрицательны и под корнем находится отрицательное число. Если 1<;х<2, то х—1>0, в то время как X — 2<0, X — 3 < 0, х — 4<0, х — 5<0, так что под корнем находится неотрицательное число. Точно так же убеждаемся в том, что, если 2 < х < 3, то подкоренное выражение отрицательно; если 3<х<4, то оно >0; если 4 < х < 5, то подкоренное выражение отрицательно, и, наконец, если х]>5, то оно !>0. Таким образом, область определения данной функции состоит из множества всех чисел, удовлетворяющих одному из неравенств: 1<х<2, 3<х<4, х>5. о I 2 3 4 5_
Это множество чисел графически изо---о-и о о о-о
бражено на черт. 86. Утолщенными
линиями отмечены промежутки, соот- Черт. 86.
ветствующие числам, входящим в область определения данной функции. Можно сказать и так: область определения данной функции состоит из двух сегментов и одного полуинтервала: [1, 2], [3, 4], [5, + ее]/ 2. — 1 <4х3 — бх+ 1 < 1. Отсюда 4х3 — бх + 2 >0, 4х3 —6х<0 или
А = 4 (, - !)_(, - =1+П) (х - ^±=И) > О, В =4* (х - /4) X X (х + j/""!-) 0- Корни функции А, расположенные в порядке их возрастания,
— 1—/З -1 + /3 , п 1—Уз
будут -^-, -^-, 1. Отсюда следует, что если х < —~— , то
А < 0; если -^-1— < X <-~-, то А >0; если -^-< х < 1,
то А < 0; если х>1, то Л>0. Итак, A^O тогда и только тогда, когда
о ^ ^ <С X <;—1 + V" 3 х>1. Теперь решим неравенство Л-<0. Корни
функции В, расположенные в порядке их возрастания, будут — » 0> j/"-|-.
Отсюда и из выражения для ? следует, что если х <Г— V^T' Т0 ^^*®' если — "j/" J- < X < 0, то Я > 0; если 0 < х < [/"у ,то В < 0; если л: > j/"
3
2,то
Ответы. § 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 521
В > 0. Таким образом, неравенству ?><0 удовлетворяют те и только те значения X1 для которых •*< — )/"-§ или °<^<]/Г-|'- Изобразим графически полученные результаты на двух параллельных осях (черт. 87). Отсюда ясно, что
-i-1/з -i+Vi
-о -l-1/з т/Т -¦ + /i
0
-о—
-VI
Черт. 87.
Черт. 88.
¦—у у» или 0 < а <-^-, или 1<*<у ~2 •
соотношения -4>0, #<0 одновременно выполняются тогда и только тогда
-1—/ІЗ . ^ ~ ~
когда --~— < а < ¦
Эти три сегмента [—Цг^, ""V^t] ' [°' ~2 ^ ] ' (.1, т] И °бра" зуют область определения данной функции (черт. 88). 3. (—со, 0), (0, + оо). 4. 0. 5. (—со, —1), (—1, 1), (1, +со). 6. (—со, +оо). 7. [—1, 1]. 8. (О, 2), (3, +со). 9. (—со, 0), (0, 2], [3, + со). 10. (—5, 0), (3, + со). 11. (—со, —2), (0, + оо). 12. (—оо, + оо). 13. (— оо, + со). 14. х > 1.
1. Составим разность
§ 2. Возрастание, убывание, выпуклость вверх и вниз
Х2~\~Х2хї— х\— х\х\ (a2—-^1)(I—х\х2)
