Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
V 2 ) 1 11
Xi < X2 < 0, то опять А < О (черт. 90). 10. Составим разность
~~ У (*1 + ах\ Jrbx\Jrc+x2Jr ах\ + Ьх2 + с) =
= — у (а'2 — x1)2 (3X1 Зх2 + 2а).
Отсюда следует, что: а) если x1 < х2 < — ~, то 3X1 + а < 0, Зх2 + а < 0; значит, 3X1 + Зх2 -f- 2# < 0, откуда А > О, т. е. функция выпукла вверх; б) если же — < x1 < х2, то Л < О и данная функция выпукла вниз. 11. Предполагая, что а < x! <х2<я, составим разность
A=Y а2-(^)2-|(Г^+У^1).
Это решение дал Л. М. Л о п о в о к.
524 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Надо доказать, что эта разность положительна; преобразуем ее следующим образом:
д2 _ (?¦+*)' _ I [ д2 _ А + 2 /( д2 _ ^ (д2 _ xl) + а2_ xl] ^
+ V (а2 — xf) (а2 — х2), получим
р , _ р=ав, а = 2уг^-~{^±Щ2 + V7=4 + V?~^l
В = а2 — X1X2 + У(я2 — Ar2) (л2 -— х2). Так как — я < х < X2 < а, то X1 + я > О, #— -? > 0, откуда (перемножая) получим я2 — X1A2 — #х2 + ^x1 !> О, я2 — X1X2 > >#(х2— X1), и так как X2 — X1 > 0, а > 0, то а2— X1X2 > 0. Поэтому знаменатель
последней дроби положителен, числитель также положителен (X1 Ф X2) и, следовательно, А > О, т. е. данная функция выпукла вверх. Замечание. Графиком данной функции является полуокружность (черт. 91) и геометрически выпуклость вверх не вызывает сомнений. 13. а) На полуинтервале (—оо, 0] убывает, на полуинтервале [0, -f- °°) возрастает; б) возрастает. 14. На интервале (—оо, 0) убывает, на интервале (0, +оо) убывает. 15. Если а > 0, то на полуинтервале
^—оо, —убывает, а на полуинтервале
Умножая числитель и знаменатель на а2
a2 (Xo — X1)2
———^- где
Черт. 91.
16.
ели
—1 < COS X < -
Уз'
?— 2^-, + CO^ возрастает. При а < 0 — наоборот, то данная функция возрастает; если
1
--~ ¦< cos X < —^=г, то убывает; если же -+г- <! cos х <^ 1, то возрастает.
/ 3 У 3 /3
Отсюда нетрудно выделить соответствующие промежутки изменения X. 18. 1°. Выпукла вниз. 2°. На полуинтервале (—оо, 0] выпукла вверх, а на полуинтервале [0, + со) — вниз. 3°. На интервале (— оо, 0) выпукла вверх, а на
интервале (0, +оо) —вниз. 20. Указание. / ~^ *2 ^ — ~ [/(X1) + /(х2)] ~
ЕЕср~ Y fa C^i) + T (-*?)]. 21. Г и 2°. Ничего нельзя сказать. 3°. Если
k > 0, то функции /(х) и kf(x) имеют одинаковую выпуклость, а если k < О, то — противоположную. 24. 1°. Функция определена на полуинтервале [0, + со). На этом полуинтервале она возрастает и выпукла вверх. 2°. Функция возрастает на интервале (— со, + оо). На полуинтервале (— оо, 0] она выпукла вниз, а на пол и те;вале [0, + со) — вверх. 3°. Функция определена в интервале (0, + оо). Она на этом интервале убывает и выпукла вниз. 25. Решение. Сведем решение этой задачи к задаче № 12. С этой целью произведем замену х = z + X и выбе-рсм \ так, чтобы преобразованное выражение для у, т. е. у = а (z + X)3 -f
_b_ За '
это значение л в предыдущее выражение, будем иметь
+ b (z + X)2 -L с (z-\- X) + d, не содержало бы z2. Это дает X = —~. Подставляя
z* +
где
и задача сведена к №-12.
12* (лг-
d_ а
Зас — Ь2 За2
2Ь*
cb
27а3 За2
28. Найдем число р такое, чтобы в разности
_а)__ _ (12 — р)х2 — \2ах — 36/?
х* + 36 РX2 + 36
Ответы. § 3. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
525
корни трехчлена, стоящего в числителе, были бы равны между собой. Для этого необходимо и достаточно, чтобы 36а2 + 36р (12 — р) = 0 или р2 — 12/? — а2 = О, р = б ± "|/"36 + а2. В случае р = б + /36 + а2 (и a =^= 0, коэффициент при х2 в числителе отрицателен; значит
причем знак равенства имеет место только при
6а 6а 6 . -_.
В случае р = 6 — >^36 + д2 будем иметь 12 — р > 0, и значит 121(1 Тад) - (6 - /36+^) > О,
-[- oo
6а 6а
причем знак равенства имеет место только при х ¦¦
~ (/36+ а2 — 6). Итак
12 —р 6 + /36+а2
6 - У36 + а2 < 12^ 3^ < 6 + /36 + а2,
причем наименьшее значение у = 6 — /36 + а2 функция принимает при л: =
= JL (Y36 +-а2 — 6), a наибольшее у = 6 + /36 + а2 — при х = — — (/36 +а2 + 6).
а а
При целом а (=?0) наименьшее и наибольшее значения будут целыми, если 36 + а2 есть точный квадрат: 36 + а2 = о2, откуда (b + а) (6 — а) = 36; отсюда ? + а и Ь — а как целые числа, произведение которых равно 36, могут принимать значения:
Ь + а\ 1 j 36 J —11 —36 [ 2|18| —2|—18| 3|12| —3 | —121 4| 9| — 4| — 9| 6 ( —б ^ — а j 361 11 —361 —1 118 I 2 j —18 j —2 112 j 3 J —121 —3 ] 9 J 4 ] —Q [ —4 j 6 | —6"
Но (Ь + а) + (& — а) = 26 — число четное, a кроме того, а Ф 0; значит, остается только
Ь + a I 2 I 18 I —2 1 —18
Ь — а I 18 I 2 I —18 I -2
Отсюда а==—8 или а = 8. Соответствующие наибольшее и наименьшее значения будут
12Jf(Jf ±8) ~*< *2 + 36 <U'
Q
причем наименьшее значение —4 функция принимает при х = (10 — 6) — ± 3,
Q
а наибольшее 16 при х = (6 + 10) = + 12. 29. При изменении х от —1 до О
функция у возрастает от / 2 до 2; при изменении х от 0 до 1, у убывает от 2 до у 2. Область определения —1<л:<1, наименьшее значение /2, наибольшее 2.
