Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если функциональный анализ в форме Вольтерры — Пинкерле в основном складывался или непосредственно перед созданием новой теории функций или в период ее построения, то
186
теория вероятностей появилась задолго до теории функций даже XIX в. К началу XX столетия она выступала как большая самостоятельная наука со своеобразными понятиями и методами, своеобразными настолько, что ее нередко не считали собственно математической дисциплиной. В ней сложились определенные традиции, специфический склад мышления и языковые формы, изменение которых было более трудным делом, чем в случае функционального анализа Вольтерры — Пинкерле, тем более, что функциональный анализ просто самим фактом складывания его параллельно формированию теории функций не был полностью изолированным от последней, да к тому же имел своим предметом слишком аналогичные вещи. Тем не менее перестройка теории вероятностей в теоретико-функциональном плане, аналогичная той, которая совершалась с функциональным анализом, все же произошла и притом лишь с незначительным отставанием во времени.
Эта перестройка начата Борелем [33, 35] в 1905—1909 гг.3* Уже в первой из указанных работ он говорит о необходимости введения в теорию вероятностей интеграла Лебега, отмечает целесообразность введения в нее ?-множеств, а вероятность отождествляет с мерой множества. Во второй работе он ввел и изучил понятие счетной вероятности.
После него в том же направлении стали работать Кантелли, Ломницки, Штейнгауз, Слуцкий, Фреше и др. Первый период этой подготовительной работы завершился знаменитой книгой Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.), в которой теория вероятностей стала рассматриваться просто как специальный случай теории аддитивных функций множеств. Для характеристики общего отношения теории вероятностей к теории множеств и функций приведем две цитаты.
В 1923 г. Ломницки писал: «Пытаясь объяснить себе основные понятия теории вероятностей и добраться до истоков, откуда берет свое происхождение беспокоящий поток парадоксов (например, парадокс Бертрана), я пришел к убеждению, что вся теория вероятностей является вполне определенной проблемой теории множеств, тесно связанной с теорией меры множеств и абсолютно независимой от какого-либо метафизического или эмпирического фактора. Понимаемая таким образом теория вероятностей делается, по крайней мере, столь же „математической" наукой, как и теория Множеств» [1, с. 35—36].
Развивая и конкретизируя эту мысль, Колмогоров в предисловии к названной выше книге высказался еще более определенно: «Целью предлагаемой работы является аксиоматическое
Борель f33, с. 126] называет Вимана как первого автора, применившего борелевские множества в теории вероятностей еще в 1900 г; работой Вимана мы не располагали
187
обоснование теории вероятностей. Ведущей мыслью автора было при этом естественное включение основ теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеобразными, в ряд общих понятий современной математики. До возникновения лебеговой теории меры и интеграла эта задача была почти безнадежна. После исследований Лебега стала ясной аналогия между мерой множества и вероятностью события, а также между интегралом от функции и математическим ожиданием случайной величины. Эта аналогия допускает и дальнейшее продолжение: так, например, многие свойства независимых случайных величин вполне аналогичны соответствующим свойствам ортогональных функций. Для того чтобы, исходя из этой аналогии, обосновать теорию вероятностей, следовало еще освободить теорию меры и теорию интегрирования от геометрических элементов, которые еще имелись у Лебега. Это освобождение было осуществлено Фреше» [1, с. 5]33.
Как и в случае с функциональным анализом, из теории множеств и функций в теорию вероятностей переносились не только общие идеи и методы, но и относительно частные понятия, приемы исследования, техника рассуждений. При этом, если при переносе их в функциональный анализ, как правило, требовалась значительная работа по переосмысливанию, обобщению, учету специфики рассматриваемых функциональных пространств — достаточно напомнить, например, переосмысливание теоремы Больцано — Вейерштрасса,— то в аналогичной работе для теории вероятностей нередко был достаточен простой перевод на другой математический язык. Так, после того, как случайные события были интерпретированы в виде множеств, теоретико-вероятностные понятия несовместимости событий, их одновременной реализации, наступления, по крайней мере, одного события из некоторой их совокупности, противоположного события, невозможного события, превратились соответственно в непересечение множеств, их пересечение, сумму, дополнение множества, его пустоту. Тем самым аппарат основных операций над множествами чуть ли не автоматически превращался в схемы теоретико-вероятностных рассуждений; аналогично сходимость почти всюду стала почти достоверной сходимостью, сходимость по мере — сходимостью по вероятности и т. д.
Это не означает, конечно, что указанная перестройка теории вероятностей была легким делом, заключавшимся лишь в подобного рода переводе. Трудностей при этом возникало, быть может, даже больше, чем при соответствующих обобщениях в функциональном анализе, но здесь не место говорить о них.
