Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если Л-множества оказались добропорядочными — почти сразу же было установлено, что в случае несчетности они имеют
25 Ими были произвольные измеримые функции 1(х) н соответствующие им лебеговские множества ?[/(*)>а],
176
мощность континуум, измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра (Суслин и Лузин, 1917 г.), то следующий класс множеств — проективных — оказался неизмеримо сложнее.
Операции проектирования и взятия дополнения множества применялись чуть ли не с самого возникновения теории множеств, однако длительное время они не изучались как самостоятельные операции теории множеств, а тем более не изучались множества, получаемые при их помощи. Вместе с тем известная обиходность этих операций создавала иллюзию простоты результата, получаемого при их применении, и порой приводила к довольно грубым ошибкам, две из которых — Шёнфлиса (1900 г.), исправленная Бэром и У. Г. Юнгом, и Лебега (1905 г.), исправленная Суслиным, — уже указывались. В 1905 г. Лебег [21, с. 191] общим образом ввел операцию проектирования и применил ее для изучения неявных функций, но, пользуясь ею наряду с операцией взятия дополнения, не дошел до мысли комбинированного применения этих двух способов образования новых множеств, что в значительной мере позволило бы ему расширить классы объектов, которые он характеризовал термином «называемые», сохраняя за ними свойство быть эффективными в требуемом им смысле. В 1917 г. Суслин, введя Л-множества, показал, что в то время, как проектирование в применении к ?-мно-жествам может привести к неизмеримому по Борелю множеству, для введенных им Л-множеств дело обстоит иначе: проекция Л-множества всегда является тоже Л-множеством, а значит, одна эта операция, позволяя выйти за пределы ?-множеств, не дает возможности расширить класс Л-множеств. Лебег, возвратившись в 1918 г. [37, с. 240—243] к этим вопросам, отметил, что операцию проектирования нельзя свести к традиционным операциям, которыми пользовались французские авторы для построения ?-множеств (что, собственно, вытекало из результатов Суслина, Лузина и Серпинского относительно Л-множеств), но ограничился лишь указанием этой операции, наряду с другими, позволяющими получать и изучать неизмеримые по Борелю множества, и по-прежнему «е связал ее с операцией перехода к дополнению. Не сделали этого на первых порах Лузин и Серпинский, поскольку очередной задачей являлось изучение введенных Суслиным множеств.
После того как основные свойства Л-множеств были изучены, возникла проблема расширения этого класса множеств, решающим шагом в постановке которой явилось открытие Лузиным того факта, что дополнение Л-множества может оказаться множеством новой и очень сложной природы (1925 г.) Отсюда он пришел к идее проективных множеств получаемых из ?-множеств при
28 Что дополнение Л-множества может не быть Л-множеством, установил еще Суслин в 1917 г. Но тогда этому не было придано надлежащего значения.
27 Почти одновременно и независимо от Лузина к целесообразности введения проективных множеств пришел и Серпинский (1925 г.).
177
помощи конечного числа операций проектирования и взятия дополнения. Эти множества изучались затем самим Лузиным, Сер-пинским и др.
Проективные множества входят в категорию «называемых», по Лебегу, они эффективно задаются в том смысле, который этим словам придавали французские авторы, и, казалось бы, не выходят за пределы «хороших» множеств, доступных изучению традиционными теоретико-множественными методами. Оказалось, однако, что дело обстоит далеко не так. Вопросы об их мощности, измеримости и свойстве Бэра оказались необычайно сложными и привели к мнению, что для их изучения недостаточно средств теории множеств вообще. Во многом именно в связи с исследованием проективных множеств по-новому переосмысливались проблемы, волновавшие французских ученых, — аксиома Цермело, трансфинитные числа и т. д. Этим мы заниматься не предполагаем а перейдем к следующему примеру взаимосвязи идей французских и русских ученых.
В предыдущем параграфе мы привели пример соревнования французских и английских математиков в разработке теории интегрирования. Аналогичную ситуацию целесообразно описать и здесь. Упомянутая выше теорема Лузина о существовании непрерывной примитивной у всякой измеримой почти везде конечной функции (1912 г.) не могла служить для определения понятия интеграла вследствие неоднозначности процесса, примененного автором для нахождения примитивной. Более того, как показал Егоров (1912 г.), для получения лузинской примитивной не может служить какой-либо интеграционный процесс, сохраняющий для интеграла такие естественные свойства, как аддитивность и неотрицательность при неотрицательной подынтегральной функции. Тем не менее сам факт существования примитивной у произвольной измеримой почти везде конечной функции, естественно, стимулировал поиски нового, по сравнению с лебеговским, гобсоновским и борелевским, определениями интеграла. Как бы в ответ на это — хотя и вне какой-либо связи с результатом Лузина — появляется определение интеграла, предложенное Данжуа в том же 1912 г. Лузин сразу же вводит понятие функции с обобщенным ограниченным изменением и показывает, что неопределенный интеграл Данжуа является такой функцией; находит необходимое и достаточное условие того, чтобы непрерывная и с обобщенным ограниченным изменением функция являлась неопределенным интегралом Данжуа от своей производной (существующей, как показал Лузин, и конечной почти всюду у всякой такой функции), а также доказывает справедливость второй теоремы о среднем значении для этого интеграла. Тогда же Лузин указал на целесообразность обобщения ряда Фурье до ряда Фурье — Данжуа.
