Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):


25 Такую функцию множества Лебег назвал «соответствием Цермело>. 28 Именно S-функции Лебег называл, как мы знаем, аналитически выразимыми
27 Видимо, это означают его слова «ставит в соответствие число у(Х), выразимое аналитически».
112
известно, не изучались до того времени. Правда, и сам Лебег отказывается от изучения столь общих функционалов. Он лишь доказывает, что если допустить существование функционала в пространстве ограниченных последовательностей действительных чисел, который каждой такой счетной последовательности ставит в соответствие определенное число этой последовательности, то такой функционал не только не будет непредставим аналитически в указанном смысле, но и не будет измеримым в смысле Лебега. Но для Лебега «неизвестно, можно ли будет когда-либо назвать неизмеримое множество, неизмеримую функцию» (с. 203), поэтому для него такой функционал «не существует». Следовательно, даже если ограничить применение аксиомы Цермело только счетными множествами действительных чисел, то и тогда она дает неприемлемый для Лебега результат28.
Таким образом, с первых же шагов в вопросе об аксиоме Цермело выявились ее связи с кардинальными проблемами математического познания. Как выразился Лузин, «математики с изумлением констатировали отсутствие единомыслия в своей среде: все в математике до сих пор заставляло думать, что всякое наличие разногласия обусловлено либо недостаточностью сведений, либо плохой постановкой вопроса. Здесь же оказалось непримиримое различие взглядов при полной внутренней очевидности дела» [3, с. 510]гэ. Разногласия проявились не только в отношении аксиомы произвольного выбора, о чем мы отчасти говорили, но именно она в наибольшей мере привела французских (да и не только французских) математиков к высказыванию своих взглядов на проблемы общих оснований математики.
§ 5. Непредикативные определения
Вопрос о непредикативных определениях30 является одним из наиболее сложных и спорных вопросов в исследованиях по основаниям математики. Здесь нет ни установившихся принципов, ни общепринятой терминологии. Зато налицо глубокие различия п концепциях непредикативности у различных представителей того или иного подхода к проблемам обоснования математики.
Непредикативные определения или определения, основанные на принципе порочного круга, на первый взгляд, не так уж затрагивают теорию функций, тем более рассматриваемого периода
28 Кроме того, к аналогичным заключениям Лебег пришел и для достаточно простых, а не произвольных, счетных множеств действительных чисел (с. 209—211). Однако изложение этого потребовало бы довольно длинных пояснений. Следует также отметить, что сами рассуждения Лебега математически тоже очень интересны.
89 Здесь же у Лузина (с. 510,'511) охарактеризована и полемика, о которой говорилось выше
•10 О них см, например, Чёрч [1, с. 331—337, 455—459]; Френкель, Бар Хил-лел [1, с. 213—221].
из
ее истории. Полемика о них в начале XX в. в общем не касалась собственно теории функций, если не связывать последнюю с абстрактной теорией множеств и математической логикой. Тем не менее непредикативные определения играют существенную роль и в ней, хотя это обычно и не подчеркивается. Если, например, обратиться к определениям функции у Лобачевского и Дирихле, то в их формулировках порочный круг выступает достаточно явно. Менее очевиден, но вполне определен он в рассуждениях при доказательствах ряда теорем интегрального исчисления. Например, когда доказывают теоремы об аддитивности интеграла, то обычно опираются на аддитивность предела интегральных сумм, однако последняя до совсем недавнего времени не доказывалась, а просто предполагалась как естественный аналог аддитивности предела последовательности или функции. Следовательно, в этих доказательствах исходили из того, что требовалось доказать. Можно было бы указать много других подобных фактов, говорящих о существенности непредикативности и в теории функций, причем в наиболее важных ее частях. Поэтому мы посчитали целесообразным остановиться и на этом фрагменте истории математики во Франции, тем более что инициатором современной постановки проблемы непредикативности явился Пуанкаре.
Пуанкаре очень много писал по философским вопросам науки вообще и математики в частности31. Неоднократно обращался он к теории множеств и математической логике; его соображения часто не безупречны, порой очень спорны и даже неприемлемы, но они почти всегда интересны.
Если говорить об отношении Пуанкаре к теории множеств в целом, то ситуация такова. Первоначально он, в общем, был ее сторонником: он участвовал в переводе канторовских работ на французский язык и блестяще применил [1] отдельные положения теории множеств в теории автоморфных функций, а затем и в общей теории аналитических функций. В начале XX в. он стал ярым ее противником. По-видимому, главной причиной столь радикального изменения его взглядов послужило обнаружение на рубеже веков ряда парадоксов в абстрактной теории множеств. Пуанкаре отєерг саму основу теории множеств — понятие актуальной бесконечности, считая последнее источником выявившихся парадоксов [4, с. 147]. Критика им теории множеств про-



