Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В ней он прежде всего высказал мысль, что Цермело фактически доказал не утверждение о возможности полного упорядочения любого множества, а предложение об эквивалентности этого утверждения и аксиомы выбора. Что же касается последней, то Борель выразил сомнение даже в применимости ее к слу-
20 Эта заметка не подписана Обычно ее, как и еще несколько заметок, помещенных в этом журнале, приписывают Адамару; так будем поступать и мы.
21 Видимо, сообщение Кёнига вызвало споры и на самом конгрессе, так как Цермело присутствовал на нем. Возможно, что на это противоречие обратил внимание Гильберт, так как статья Цермело [1] представляет собой письмо, обращенное к нему. Из других математиков, присутствовавших на этом конгрессе, можно указать Кантора, Бореля, Каратеодори, Хаусдорфа, Адамара, каждый из которых мог заметить это противоречие.
22 О такой просьбе к нему прямо пишет Борель [31, с. 194]. Авторы других работ на эту тему (Бернштейн, Журден, Шёпфлис), приславшие статьи в тот же номер журнала, об этом не говорят.
106
чаю, когда множества, из которых производится выбор определенного элемента, являются подмножествами континуума. Приведя затем такое рассуждение: чтобы вполне упорядочить произвольное множество Af, достаточно выбрать в нем некоторый элемент, которому мы припишем ранг 1, потом отличный от него другой элемент, которому припишем ранг 2, и т. д. трансфинитно, т. е. до тех пор, пока не исчерпаем все элементы множества Af последовательностью трансфинитных чисел,— Борель продолжал: «Но ни один математик не станет рассматривать это рассуждение как законное. Мне кажется, что возражения, которые можно выставить здесь, действительны и для всякого рассуждения, в котором предполагается произвольный выбор, совершенный несчетное множество раз; такие рассуждения находятся вне пределов математики» {31, с. 195]. В примечании на стр. 195 Борель привел выдержку из письма к нему Бэра, из которой следовало, что последний тоже сомневался в принципиальной возможности установить полное упорядочение континуума.
Вслед за тем Борель обратился с письмами к Адамару, Бэру и Лебегу с просьбой высказаться по поводу соображений, выдвинутых им в статье [31]. Их ответы вместе с новым письмом Бореля и составили знаменитые «Пять писем о теории множеств», опубликованные в 1905 г. в «Бюллетене Французского математического общества» (1905, 33, с. 261—273) и перепечатанные во втором издании борелевских «Лекций по теории функций» [47], а также в их последующих изданиях.
Адамар [5] отверг борелевское сопоставление приведенного выше рассуждения о возможности полного упорядочения всякого множества с рассуждением Цермело при выборе элементов в множествах бесконечного семейства. Он указал на то, что в первом рассуждении производится ряд последовательных выборов, каждый из которых зависит от предыдущего, тогда как во втором эти выборы производятся независимо друг от друга. Далее он выразил мнение, что различие между счетным и несчетным множествами выборов, на котором настаивал Борель, является несущественным. Вместе с тем Адамар признал, что рассуждение Цермело «не дает никакого средства эффективно осуществить операцию, о которой он говорит [т. е. операцию выбора элементов.— Ф. Af.], и что остается сомнительным, чтобы кто-либо смог указать это средство» [5, с. 262], но отметил, что в этом оно подобно традиционным доказательствам теорем существования в математике.
Получив письмо Адамара, Борель ознакомил с ним Бэра, и последний [12] в письме Адамару изложил свои взгляды. Бэр сообщил, что он в основном придерживается мнения Бореля и даже идет несколько дальше. «Как только мы говорим о бесконечности (даже счетной, и именно в этом я пытаюсь быть более радикальным, чем Борель), так уподобление, сознательное или
107
бессознательное, с мешком монет, передаваемым из рук в руки, должно быть полностью отброшено, и мы, по моему мнению, приходим к потенциальности, т. е. вводим соглашения, позволяющие нам заранее, до того, как объект определен при помощи нового соглашения, делать утверждения о некоторых свойствах этого объекта. Но считать, что мы можем идти дальше, мне кажется незаконным. В частности, из того, что некоторое множество задано, ...было бы ошибкой рассматривать части этого множества как заданные» (с. 2ЬЗ, 2Ь4). Завершает свое письмо Бэр словами: «в конечном счете... все сводится к конечному».
В ответ на просьбу Бореля высказаться по поводу его заметки [31] и письма Адамара [5] Лебег [19] сообщил следующее. Он согласился с Борелем, что Цермело доказал только эквивалентность утверждения о вполне упорядочении всякого множества с аксиомой произвольного выбора (с. 264, 2Ь5); согласился он и с Адамаром в том, что различие между счетным и несчетным множествами выборов несущественно с теоретической точки зрения, хотя признал практическую полезность проведения этого различия (с. 268—269). Лебег присоединился к мнению Адамара, что в рассуждении Цермело речь идет о некоторой теореме существования, но сам термин «существование» истолковал (с. 266) как имеющий смысл только тогда, когда говорят о существовании объекта, который определен, понимая иод словом «определить» слова «назвать характеристическое свойство определяемого объекта» (с. 266), т. е. то лебеговское «назвать», о котором говорилось в предыдущем параграфе.
