Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Большое место в изысканиях по теории функций в двадцатом столетии заняла так называемая эргодическая теория, т. е. учение о преобразованиях, сохраняющих меру. В ней находят себе применение наиболее абстрактные
19 Ограничимся указанием лишь двух публикаций: Пуанкаре [11] и Александров [1].
210
и тонкие идеи теории множеств и функций. Одним из интереснейших фактов истории эргодической теории является то, что у истоков современных подходов к ней находятся исследования Пуанкаре по небесной механике: он в 1899 г. доказал [10, с. 130—144] теорему о возвращении, положившую начало нынешнему учению о взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях множеств, инвариантных относительно меры. Мы не будем приводить формулировку и говорить что-либо о доказательстве этой теоремы ни в том виде, как это сделано Пуанкаре, ни в современной форме, так как это потребовало бы длинных пояснений20. Заметим лишь, что формулировка теоремы и ее доказательство у Пуанкаре фактически опираются — если перевести их на современный язык — на понятия меры в смысле Лебега и категории в смысле Бэра. Затрудняемся сказать, имелось ли в данном случае какое-либо взаимодействие мыслей Бореля, Бэра, Лебега и Пуанкаре, но сам факт, что почти в одно и то же время и в одном и том же месте, но в разных ответвлениях науки, на первый взгляд так далеко отстоящих друг от друга, мысли различных ученых шли в одинаковом направлении, представляется нам очень интересным.
Второе обстоятельство связано с теоремой Лузина. Мы говорили о ней неоднократно (см с. 155, 173, 174) и относили первую ее формулировку к Борелю и Лебегу (1903 г.). Но вот что мы можем прочесть в работе Пуанкаре 1897 г. [3, с. 861]: «.Произвольная функция всегда сколь угодно мало отличается от некоторой разрывной функции и, одновременно, сколь угодно мало отличается от некоторой непрерывной функции (курсив наш.— Ф. M.)-» Выделенные слова выражают собой неформальную сущность теоремы Лузина. Ход мыслей Пуанкаре в указанной работе очень далек от тех теоретико-функциональных соображений, которые могли привести к формулировке теоремы Лузина как предложению теории функций,— он рассуждал здесь как естествоиспытатель, пользующийся математическим понятием функции. Для него это не предложение, требующее доказательства, а некоторая очевидная истина, которую он высказывает мимоходом Как и в предшествующем случае, трудно сказать, имеется ли прямая связь между интуитивным убеждением естествоиспытателя, в качестве которого здесь выступает Пуанкаре, и абстрактным теоретико-функциональным подходом Бореля и Лебега к одному из важнейших предложений теории функций.
Можно предполагать, что в трудах Пуанкаре можно найти и другие аналогичные неожиданности.
Пьер Фату. Луи Жозеф Пьер Фату родился 28 февраля 1878 г. С 1898 по 1901 г. учился в Высшей Нормальной школе. Одаренный математик, он после окончания Нормальной школы и защиты в 1907 г. докторской диссертации «Тригонометрические ряды и ряды Тейлора» [4], оказавшей значительное влияние на развитие теории функций, не сумел подыскать себе место в Париже, где он мог бы работать в качестве профессионала-математика Поэтому он согласился поступить на работу в Парижскую обсерваторию, где до самой смерти работал в области практической астрономии. Умер Фату 10 августа 1929 г.
20 Сошлемся в этой связи на книіу Окстоби [1, с. ИЗ—119] и на указанную там литературу.
211
Несмотря на занят ость в основной работе, Фату получил много замечаТеЛЬ' ных результатов в математике и больше известен как ученый этой области знания. О его значительных достижениях в теории функций действительного переменного мы уже' говорили (с. 76—80). Отметим еще некоторые: обобщение интегральной теоремы Коши; решение проблемы Дирихле в случае круга для суммируемых функций; важное условие сходимости ряда Тейлора во всякой точке голоморфности функции, расположенной на окружности круга сходимости; стремление почти всюду интеграла Пуассона к подынтегральной функции при р-vi; решение проблемы единственности определения аналитической функции по ее предельным значениям на некотором множестве и т. д Ряд важных работ он посвятил теории итерации функций комплексного переменного, различным функциональным уравнениям и другим вопросам математики.
ЛИТЕРАТУРА'
Абель (Abel N Н.)
I. Recherches sur la serie 1-( — дг-f-
1
, ^m-1) . , m(m-l)(m—2) з , Т"ТГ ^ ГТз
(1826).— «Oeuvres completes*, t. 1. Christiania, 1881, р 219—250.
Адамар (Hadamard J)
1 Sur les cliaracteres de convergence des series a ternies positifs et sur les functions indefiniment crois-santes.—Acta math., 1894, 18, 319-336.
2 Sur certaines applications possibles de Ia theorie des ensembles.— Verh. der ersten intern. Math.-Kongr. (1897). Leipzig, 1898, 201, 202.
3 La theorie des ensembles.— Revue gen. des sei. pures et appl., 1905, 16, 241, 242.
4. Les prineipes des mathematiques et Ie probleme des ensembles.— Ibid , 541—543.
5. Lettre de M. Hadamard a M. Bo-rel.— Bull, de la Soc. math. France, 1905, 33, 261—263.
