Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 4.26. Группа А автоморфизмов свободной группы F конечного ранга является конечно представленной и
A=(Q; R)
— ее конечное представление. Менее формально А порождена множеством Q преобразований Уайтхеда, причем каждое соотношение между элементами из Q следует из соотношений между элементами из Q1 и соотношений вида (Rl) — (R6).
? Достаточно показать, что если alt . . . , On ? Q и O1. . .оп = \, то это соотношение является следствием соотношений из R. Пусть U=(X1, . . . , хп) и U1 = Uo1. . .O1; тогда U0=Uh=U. Положим т=тах {\Ut\}^n и будем вести доказательство индукцией по т и по числу множеств Ui, таких, что \ Ui\=m. Если т=п, то каждое Oi лежит в Q1 и O1. . .oh=\ является соотношением между элементами множества Q1. Если т>п и і — последний индекс, такой, что
з*
68 Гл. f. Свободные группы и их подгруппы
\Ui\=m, то Ki<ffl и It/j-iKIf/jl, Wt+iKWil. По предложению 4.22 ajO,+1=pi. . .pk по модулю N2 для некоторых pj?Q, причем Wi-Ip1. . .p7-|<|i/j|=m для 0</=С&. Таким образом, заданное соотношение ПО МОДУЛЮ N2 Следует ИЗ СООТНОШеНИЯ O1. . .Oj-Jp1. . .
.. ¦PkOj + 2- . .сгп. Однако в этом соотношении либо т'<Ст, либо т''== =т с меньшим числом вхождений величины т, следовательно, по предположению индукции данное соотношение является следствием соотношений R. Таким образом, O1.. .oh=1 — следствие соотношений R. ?
Маккул в [1974] из предложения 4.26 получил данное Нильсеном [1924] представление группы A = Aut(F). В качестве порождающих Нильсен брал подмножество Q°=QJuQ2 множества Q, состоящее из некоторых нильсеновских преобразований. Более точно, QJ состоит из перестановок (хг, xj), іФ\, и (xit хт1) для всех і. Множество Q21 состоит из всех преобразований
(Xi+Xj, xj): X1 -V X1Xj для іф\
и всех преобразований
(хт1 + xj1, xj1): X1V-^-XjX1 для іф\.
Ясно, что QJ порождает A1 и что Q0 порождает А. в качестве определяющих соотношений Нильсен взял множество /?0 = .RJu Rl, где Rl определяет A1, г Rl состоит в сущности из всех соотношений в множестве R2 из доказательства Маккула, включающих порождающие лишь из Q0.
Чтобы доказать, что нильсеновское множество R0 является полным множеством определяющих соотношений, Маккул преобразует представление Нильсена с помощью преобразований Титце. Вначале он присоединяет в качестве новых образующих элементы, обратные к элементам из Q2, присоединяя при этом и тривиальные определяющие соотношения. Затем он присоединяет все (А, а), которых нет в множестве Нильсена (т. е. в которых |Л|>2), вводя для каждого из них определяющее соотношение вида (A, а)=(аі+а, а). . . . . .(аг+а, а), где аи . .. , агиа — различные элементы множества Л. Наконец, он использует эти последние соотношения и индукцию по \А\ для встречающихся в рассуждении преобразований (А, а), чтобы показать, что все соотношения из R2 имеют место.
Нильсен заметил, что фактически группа Aut (F) порождается любым множеством порождающих для A1 вместе с единственным элементом из Q2. Таким образом, А порождается перестановками (X1, х2), (X1, X11), (X1, х2, ... , хп) вместе с преобразованием X1 >—> X1X2; Нильсен привел и множество определяющих соотношений относительно этих порождающих. Б. Нейман [1932] уменьшил порождающее множество до трех элементов. (Эти последние факты можно найти в книгах Кокстера и Мозера [1965, стр. 85] и Магнуса, Карраса и Солитэра [1974, стр. 175].)
5. Стабилизаторы в Aut (F)
69
Из одного результата Нильсена [1924] и Магнуса [1934] следует, что IA (F) — нормальное замыкание в Aut (F) единственного элемента (X=(Xi+xf1+JC2, хг): X1 t—>¦ X2-1X1X2. Таким образом, из полученных представлений для Aut (F) можно получить представление для Aut (F)IIA (F)=GL (п, Z) присоединением еще одного определяющего соотношения Gi=I.
Заметим, что вопрос об алгоритмической разрешимости проблемы, переводит ли некоторый Gi g Aut (F) последовательность W= = (wi, .... Wn) в некоторую последовательность W' базисных элементов, был разрешен ранее теоремой Федерера и Йонссона (см. выше 2.26). Несмотря на это, предложенный метод проще в применении; например, .весьма короткое вычисление показывает, что никакое преобразование Уайтхеда не уменьшает длину слова хух~ху~х или слова X2 (рассматриваемых как циклические слова относительно базисных элементов х, у), что доказывает невозможность включения этих элементов группы F в какой-либо ее базис.
Хор (препринт) получил существенное упрощение доказательства теоремы Уайтхеда, а также полученного Маккулом конечного представления для Aut (F), где F — конечно порожденная свободная группа, анализируя геометрию звездного коинициального графа.
5. Стабилизаторы в AUt(Z7)
Перейдем теперь к изучению стабилизатора данного множества слов или циклических слов в группе Aut (F). Перед доказательством одного весьма общего результата Маккула мы упомянем некоторые более частные результаты.
При достаточно общем слове w, содержащем все образующие, можно было бы ожидать, что его стабилизатор A10 должен быть малым или даже тривиальным: экстремальный пример свободной группы ранга 1 показывает, что стабилизатор любого нетривиального элемента тривиален. Однако результаты Нильсена и Цишанга, которые мы приводим ниже, показывают, что в некоторых важных случаях Aw может быть весьма большим. Первый из этих результатов принадлежит Нильсену [1918]; см. также Стиб [1972, стр. 117].
