Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Бахмут (1966] установил, что в Аи1(Ф/Фп) пересечение естественного образа группы Aut (Ф) с ядром естественного отображения в Aut (Ф/Фя_,) является свободной абелевой группой; им же вычислен ранг этой свободной абелевой группы и показано, что естественные образы в Аи1(Ф/Ф9) групп Aut (F) и Аиї(Ф) совпадают, причем при q^2 они являются собственными подгруппами группы Аи1(Ф/Фч). Он спрашивает, не является ли естественное отображение из AUt(F) в Аи1(Ф) на самом деле эпиморфизмом. Чин [1972] показывает, что при о=3 естественное отображение из IA (F) в IA (Ф) не является эпиморфизмом, более того, естественный образ группы IA (F) в АиЦФ/Фд) имеет индекс 2 в образе группы IA (Ф) в той же группе.
Все упомянутые статьи содержат и некоторые другие результаты. В частности, статья Чина [1968] содержит дальнейшие результаты о группе Аи1(Ф) и группах Аи1(Ф/Ф„), а статья Бахмута [1967], за которой последовала статья Бахмута и Мочизуки [1967], посвящена аналогичным проблемам для групп F/F"(F')m, где (F')m — группа, порожденная всеми т-мн степенями элементов из F'=[F, F] и F"=[F', F'].
В заключение упомянем классический результат Нильсена [1927]; (см. также Цишанг [1964] и Розенбергер [1972]), согласно которому если G= (X; г) — каноническое представление фундаментальной группы замкнутого 2-многообразия с одним определяющим соотношением и F — свободная группа с базисом X (см. разд. II.1), то каждый автоморфизм группы G индуцируется некоторым автоморфизмом группы F. Это неверно для произвольного представления с одним определяющим соотношением (см. Маккул, Петровски [1972] и Цишанг [1969]).
Пусть G — фундаментальная группа поверхности, или, более общо, некоторая фуксова группа, причем G=FfN, где F — свободна. Связи между Aut (F) и Aut (G) для этого случая были получены Печински, Розенбергером, Нильсеном и Цишангом. См. разд. 1.5.
Вернемся к двум центральным проблемам теории групп автоморфизмов свободных групп, поставленным Уайтхедом [1936]. Первая из них такая: для двух заданных упорядоченных подмножеств U=(Ui, ¦. •, ип) и V= (W1, ..., Vn) свободной группы F определить, существует ли автоморфизм а группы F, переводящий U в V, т. е. такой, что U1Ct=V1, где І^г'^гс; вторая: существует ли автоморфизм а, переводящий Gp (U) в Gp(V)? Первая проблема
4. Автоморфизмы свободных групп
53
была решена самим Уайтхедом с использованием топологических методов в размерностях не выше 4. Доказательство в духе комбинаторной теории групп было дано Рапопорт [1958]; доказательство, которое мы приводим ниже, является усовершенствованием ее доказательства из работы Хиггинса и Линдона [1974]. Совсем недавно Вальдхаузен (не опубликовано), используя существенным образом теорию 3-многообразий, дал короткое решение обеих проблем. Мы приведем также принадлежащее Маккулу [1974] усовершенствование рассуждений Хиггинса и Линдона, с помощью которого ему удалось получить представление для группы автоморфизмов конечно порожденной свободной группы и для некоторых стабилизаторов в свободной группе.
Заметим, что на языке введенных ранее «матриц» проблема совпадения Gp ((У) с Gp(V) — это проблема левой эквивалентности матриц U и V, т. е. существования невырожденной матрицы Р, такой, что V=PU; первая проблема Уайтхеда — проблема существования невырожденной матрицы Q, для которой V=UQ; вторая проблема Уайтхеда — проблема существования невырожденных матриц P и Q, для которых V=PUQ.
Заметим также, что, как мы уже видели ранее (2.14, 2.22), аналоги проблем Уайтхеда для внутренних автоморфизмов имеют довольно простые решения.
Начнем с некоторых идей, играющих важную роль в доказательстве теоремы Уайтхеда, а также представляющих определенный собственный интерес. Сначала определим циклическое слово длины п как циклически упорядоченное множество из п букв о;, индексированных элементами / из Zn; приведенным циклическим словом мы будем, как правило, называть циклическое слово, в котором а,а,-+1=7== =т==1 для всех і (индексы берутся по модулю п). Циклическое слово можно мыслить как множество всех циклических перестановок некоторого циклически приведенного слова; поэтому циклические слова находятся во взаимно однозначном соответствии с классами сопряженности свободной группы F.
С каждым циклическим словом w можно связать функцию фш: Xі1 xXi'-bZ, такую, что yw{x, у), где к и у из Xі', является числом отрезков одного из видов ху1, ух'1 в слове до. Заметим, что фш-'==Фи>- Мы будем часто опускать ссылку на слово w и писать Фш(*. у)=х-у, если A, B=X*1, то A-B определяется как сумма всех а-Ь, где a g А, Ь? В. Эта функция очевидным образом обладает следующими свойствами:
А-В^О, A-B=B-A, (А+В)-С=А-С+В-С (мы пишем А+В вместо Au В в случае, когда Af)B=0),
а-а=0, а-Х±1=число букв а или а-1 в до.
54
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
- Эта функция фш(х, у) тесно связана со звездным графом (или коинициальным графом), о котором речь пойдет ниже (1.7); с небольшими изменениями в обозначениях звездный граф имеет в качестве вершин множество X±l, причем между вершинами X и у имеется q>w(x, у) ненаправленных ребер.
