Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Определим теперь автоморфизм Уайтхеда группы F как автоморфизм т одного из двух следующих видов:
1) т переставляет элементы множества Xі1;
2) т переводит каждый элемент х 6 Xі1 в один из элементов х, ха, а~хх или а~хха при некотором фиксированном «множителе» Х±х.
Пусть Q — множество всех преобразований Уайтхеда. Если т — преобразование второго типа, то мы пишем т=(Л, а), где А состоит из всех х^Х*1, таких, что хт=ха или хт=а-1ха, включая а, но исключая агх. Ясно, что
(А, а)-1 = (А—а+а-1, а-1);
более того, если A'=X±l—А — дополнение к А, то легко проверить, что
(*) (A', а-1)(Л, а)-1 = (Xі1—а, а-1) = и
есть внутренний автоморфизм, переводящий каждый элемент х в аха~1, и, следовательно, для любого циклического слова w имеем
(**) w(A, a) = w(A', а-1).
Если w — циклическое слово и х=(А, а)—преобразование Уайтхеда второго типа, определим D (т, w)=\wx\—\w\; вместо D (т, w) мы будем часто писать D (х).
Предложение 4.16. Пусть w — циклическое слово и х=(А, а), тогда D(x, w)=A-А'— а-Х±1.
? Пусть w' — неприведенное циклическое слово, получаемое из w заменой каждой буквы х на хх без сокращения. Предположим, что w" — результат вычеркивания всех подслов аа~х и а~ха из w . Покажем, что w" — приведенное слово. Буква а~х может появиться при переходе от w к w' только перед буквой X из w, где X^=G*1; аналогично буква а может появиться только вслед за буквой у из w, такой, что уфа^1. Таким образом, w' не содержит подслова a-1a. Предположим теперь, что подслово аа~х возникает из подслова ух слова w, так что в w' имеем уаа~1х; тогда в w" мы снова имеем приведенное подслово ух. Предположим теперь, что одна из букв подслова аа~1, скажем а, была в слове w, а буквы а-1 не было. Тогда подслово уах из w переходит либо в уаа~хх, либо в уааа~1х в слове w', т. е. в ух либо уах в слове w"; в первом случае уфх~х, а во втором уфа~х, поэтому конечный результат в w" — приведенное подслово.
4. Автоморфизмы свободных групп
55
Теперь мы видим, что D(t, до), очевидно, равняется D1—D2, где Di — число букв a±l, возникающих в процессе перехода от до к о/, сохраняющихся в дот=до", a D2 — число букв а*1, пропадающих при переходе от до' к до". Если буква а в до' возникает из буквы X в до, то XX — это ха либо а~хха (и хфа*1), так что х? А—а; если X встречается в подслове ху1 слова до, то вновь возникающая буква а не сократится в том и только том случае, когда у Q А'. Аналогично буква я-1 в слове до, возникающая из буквы х-1 слова до, не сокращается в том и только том случае, когда х-1 встречается в подслове ух'1, где у?А' и х?А—а. Таким образом, D1=(A—а)-А'. Буква а, присутствующая в слове до, сокращается в до" тогда и только тогда, когда она встречается в подслове ах~х, где х?А—а, аналогично буква а-1 из до может сократиться в том и только том случае, когда она встречается в подслове ха-1, где х ? А —а. Таким образом, D2= (А—а)-а. Окончательно имеемD (т,до)= (А—а)-А'— (А—а)-а= =А-А'—(А'+А)-а+а-а=А-А'—а-Х*1+0. ?
Теорема Уайтхеда будет доказана нами сначала в весьма ограниченной формулировке.
Предложение 4.17. Пусть до и до' — циклические слова, w' == =wa для некоторого а 6 Aut (F), и предположим, что |до'К1до|. Тогда а=Ті.. лп, п^О, где T1, ..., т„ ?Q и где для любого 0<г<« имеем ]wxi ... T1-KItH, причем неравенство строгое во всех случаях, кроме |до'| = |до|.
Лемма 4.18. Предположим, что до — циклическое слово и u=wa, u=wx, где ст, т6 ?. Предположим, что |«К1до| и ]v\^\w\, причем хотя бы одно неравенство является строгим. Тогда о_1т=рі... рп, п^О, где pi, ..., pn 6 Q и где для любого 0<Сі<.п выполняется неравенство Іирі ... р;К1ш1.
? Выведем сначала предложение из леммы. Пусть до и до'=доа— слова, удовлетворяющие условиям предложения. Поскольку ниль-сеновские преобразования являются преобразованиями Уайтхеда и порождают группу Aut (F), можно записать Gt=T1 ... тп, я^О, где ть ..., Tn^Q. Положим т=тах{|доті ... xt\; 0<Сі<п}. Если утверждение предложения не выполняется для данного представления автоморфизма а в виде произведения преобразований Уайтхеда, то п^2 и либо /?Ог|ш|>|до'|, либо т>|до| = |до'|. Достаточно показать, что в этом случае мы можем найти новое представление для а в виде произведения преобразований Уайтхеда, причем m'^rn и значение Ідоті ... xt\=m достигается для меньшего числа индексов І.
Итак, предположим, что /0=2 и что либо т>|до|>|до'|, либо т>|до|==|до'|. Пусть і — наибольший индекс, такой, что \wt\=m, ще Wi=WXi ... X1. Тогда \Wi-i\<^\Wi\~>\Wi + i\. Применим лемму,
56
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
полагая до=дог, o=xjl, т=т(.+1; тогда T1Tj + 1=P1 ... ph, k^O, все pi лежат в Q и Ідо,--:рі ... р;-К1о);|=т для 0<7<Ж Заменяя пару ть T/+j в последовательности ть ..., Tn последовательностью Рь ..., рй, мы получаем представление для а с необходимыми свойствами. ?
Перейдем теперь к доказательству леммы. Предположим, что w — циклическое слово, что U=M)O1 и=и)т, где о, T^Q1 и |иК1до|, І&КІДОІ, причем либо ІиКІдоІ, либо-\v\<.\w\. Заметим, что
(***) \w\>j (\u\ + \v\).
Пусть до, u=wo и V=WT такие, как выше, причем а= (А, а), т= (В, Ь), и положим a= (A', а"1), х=(В', Ь~х). Тогда предположения сохраняются, если заменить а на а или т на т, поскольку по (**) u=wo и V=WX. Заметим, что если заключение леммы верно при а, замененном на о, то оно верно и в первоначальной формулировке. Предположим, что рь ..., рп — элементы множества Q, такие, что O-1T=P1 ... р„ и что [Up1 ... р;К1до| при KKn. По свойству (#) сг=ак, где х— сопряжение элементом а. Тогда о-1=х-1с>-1 и O-1T=X-1P1 ... рп. Теперь KgQ и |ux| = |и|, так что заключение верно для последовательности х, P1, ..., р„, если только |их| = |иК1до|. Если это не выполняется, то |иК1о)|. Тогда о-1т= =Pi . .. рпК, где К сопряжено с X и, следовательно, является внутренним автоморфизмом, т. е. произведением внутренних автоморфизмов K1, Km?Q. Имеем теперь O-1T=Pi ••• p,Ai ... ... K7n и IUp1 ... PnK1 ... KtI = IvX1 ... Ki\ = \v\<.\w\, так что заключение верно для последовательности рь ..., pn, K1, . . ., Кт.
