Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
В той же работе [1962] Цишанг вычисляет группу Aw для всех слов w=xayb в свободной группе F ранга 2 с базисом {х, у}.
? Дадим один из вариантов его рассуждений. Без потери общности можно предполагать, что а, Ь^0. Оставим в стороне случай до=1, а если а=\ или 6=1, т. е. если до — базисный элемент, то будем
72
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
считать, что до=х. Таким образом, можно считать, что либо до=ха, сй^\, либо w=xayb, а, Ь^2. Рассмотрим пять возникающих случаев в отдельности.
Случай 1. w=xa, а^\. Если 9 оставляет на месте до, то он должен оставлять на месте и единственный корень степени а из него, т. е. х. Поскольку х9=х и г/9 порождают F, г/9 должен иметь нормальную форму yQ=xhy±1xk. Таким образом, а: у у-> ху и ?: у*—> і—> ух'1 образуют базис для свободной абелевой подгруппы А' группы Aw и A10 — расщепляемое расширение свободной абелевой группы А' ранга 2 при помощи инволюции є: у\-^y1, причем сопряжение элементом є переставляет элементы аир.
Случай 2. w=xayb, а, Ь>2, афЬ. Никакое преобразование Уайтхеда, не являющееся перестановкой, не может оставлять неизменной длину слова (до), и лишь тривиальная перестановка оставляет неизменным (до). Таким образом, A10 состоит полностью из внутренних автоморфизмов, точнее, является циклической группой, порожденной автоморфизмом со=хш, переводящим каждый элемент и из F
В WUW'1.
Случай 3. w=xaya, а>2. В этом случае есть единственная нетривиальная перестановка я: х <-> у, оставляющая на месте (до), которая дает внешний автоморфизм а=лкха'- х х"ух~а, у н-> х, переводящий до в себя. Далее а2=со, так что A w — бесконечная циклическая группа с порождающим а.
Случай 4. до = х2уь, by 2. В этом случае имеются две существенно различные последовательности преобразований Уайтхеда, сохраняющие длину (до), произведение элементов которых нетривиально. Первая последовательность: O1, ...,оь, л, где O1=... ...=оь = о: xv-^-xy1 и л: уь-^-у1. При этом о^я: хь-*>хгД у>—^y1 переводит до в хуьх; далее а = оьлнх: х*->х2уьх~1, yt"*xy~1x~1 лежит в Aw. Другая последовательность: T1 = ... ...=тй = т: Xv-^y1X, за которой следует я, причем тья: Xi->уьх, уь-^у1 переводит до в уьхуьхуъ. Однако элемент тьлх ь из Aw снова равен а. Опять а2 = со, т. е. и на этот раз
Aw — бесконечная циклическая группа с порождающим а.
Случай 5. до = х2у2. Образ An, группы Aw при естественном гомоморфизме из Aut (F) на GL (2, Z) стабилизирует вектор до = (2, 2). Согласно результату Нильсена (предложение 4.5), ядро этого отображения —группа внутренних автоморфизмов для F; отсюда следует, что если В — любая подгруппа из Aw, отображающаяся на Aw, то Aw = JB, где У —множество внутренних автоморфизмов из Aw. Фактически J — бесконечная циклическая группа с порождающим со, центральная в Aw.
В группе GL(2, Z) преобразование а=^ с определителем — 1 стабилизирует вектор (2, 2). Вычисления показывают,
5. Стабилизаторы в Aut (F)
73
что если какое-либо преобразование T = (^ с определителем + 1 стабилизирует (2, 2), то T = P=(^^ r^e ? =
= ^_^ ^ . Таким образом, аир порождают Вычисле-
ния показывают, что элементы а: х*—*-х2//2х-1, у у-^ Xy-1X-1 и ?: Afi—х*у, у~1х~1у группы Aut (F) принадлежат Ат. Поскольку а и ? отображаются на а, ?, группа В, порожденная этими автоморфизмами, отображается на Aw. Отсюда следует, что а, ? и у порождают группу Aw.
Пусть у: хі—>х2ух~г, yi—*-x. Вычисления показывают, что а2 = у2 = w и что ау = ?>и>, поэтому Aw порождена автоморфизмами
а и у. Далее, Aw=AjJ имеет порождающие а и у, такие, что а2=72=1, причем $ = ау — элемент бесконечного порядка, т. е. Аю = (а, у; аг = у2 = 1). Теперь каждый элемент группы Aw единственным образом представим в форме com6, где б —произведение чередующихся сомножителей а и у. Отсюда следует, что A111 имеет представление вида (а, у, ю; а2 = у2 = со), так что A9= {a, у; о? = у2). ?
Следующий результат был установлен Дайер и Скоттом [1975].
Предложение 5.3. Если F — конечно порожденная свободная группа и а — автоморфизм конечного порядка этой группы, то множество элементов группы F, которые остаются на месте при автоморфизме а, является свободным множителем в F. ?
Приводимое ниже замечание принадлежит Шеницеру [1955].
Предложение 5.4. Пусть F — свободная группа с базисом X и w — обычное или циклическое слово, длина которого минимальна среди длин сопряженных с ним под действием группы Aut (F) слов. Если в слове w встречается в точности п различных элементов из X, то в каждом слове wa, а ? Aut (F), встречается самое меньшее п различных элементов из X.
? По предложению 4.17 существует цепочка wa=uu, ии ... , ut= =w, где каждое ыг + 1 равно и,а, для некоторого преобразования Уайтхеда а1у причем |u, + 1KI«,|. Если wa содержит меньше элементов множества X, чем w, то некоторое должно содержать больше элементов множества X, чем Отсюда следует, что O1 = =(Л, Xі1) для некоторого X из Х±\ встречающегося в ии но не в «г-н. Однако в этом случае ui+1 должно было бы быть результатом одной или большего числа вставок буквы Xі1 в ut, что невозможно в силу неравенства |ai+iKI«j|. ?
