Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
На самом деле, если допустить, что длины образуют измеримую величину, нет необходимости прибегать к теореме Фалеса (которая опирается на аксиому о параллельных) для определения частного или произведения двух длин; это показано нами в § 1.7.
Таким образом, мы облегчим изложение, предполагая известным поле действительных чисел и рассматривая как решенную предварительно задачу измерения длин, благодаря изучению, проведенному в § I. 5. Итак, мы считаем, что выбрана единица длины, и допускаем в наших аксиомах существование рас-
224
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
стояния. Так мы можем изложить общие свойства, относящиеся как к евклидовой, так и к неевклидовой геометриям, которые составляют содержание «абсолютной геометрии».
Метрическая плоскость
Ради краткости мы называем метрической плоскостью любое множество 9>i удовлетворяющее четырем приведенным ниже группам аксиом1). Тем самым абсолютная геометрия будет изучением этой «метрической плоскости». В дальнейшем метрическая плоскость станет евклидовой или неевклидовой плоскостью в зависимости от того, будет ли принята аксиома Евклида о параллельных или ее отрицание.
I. Аксиомы инцидентности
Плоскость есть множество 9і, элементы которого называются точками, а некоторые его подмножества, называемые прямыми, удовлетворяют следующим условиям:
I3 Через две различные точки 9і проходит единственная прямая.
Ь Каждая прямая содержит не менее двух точек.
Ic Существуют три неколлинеарные (т. е. не лежащие на одной прямой) точки.
II. Аксиомы порядка
IIa Каждая прямая из 9і снабжена двумя взаимно противоположными отношениями линейного порядка.
Эта аксиома приводит к заданию тернарного отношения «лежать между» и позволяет определить отрезки и полупрямые. Обозначим через [AB] отрезок, образованный точками прямой {AB), лежащими между А и В (включая и концевые точки), и сформулируем еще одну аксиому:
1J Некоторые из этих аксиом уже формулировались. Для большей ясности мы их воспроизводим с другой нумерацией. Уточним на будущее, что нас не беспокоит вопрос о независимости аксиом. По этому поводу можно обратиться к [HI—RO]«
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
225
Ib (Аксиома Паша.) Если прямая S) пересекает одну из сторон [AB]9 [BC]9 [CA] треугольника (ABC)9 то она пересекает по меньшей мере еще одну его сторону.
III. Аксиомы расстояния
Мы предполагаем, что задано отображение d: ^5X X ^ —>- R+, называемое функцией расстояния (между точками), которое удовлетворяет следующим условиям:
Ша (V (A9 B)s=PXP) d (A9 В) = d (B9 А). Шь d(A9 В) = 0<=^А = В.
Шс Для того чтобы точка С прямой (AB) принадлежала отрезку [AB]9 необходимо и достаточно, чтобы
d(A9 B) = d(A9 C) + d(C9 В).
HId На каждой полупрямой (Ou) с началом О и для любого действительного X > 0 1) существует точка M9 такая, что d(0, M) = х.
(Из предыдущих аксиом следует единственность этой точки.) Число d(A9B) называется также длиной отрезка [AB] и часто обозначается просто AB (см. § 8).
IV. Аксиомы симметрии2)
Для удобства их формулировки введем некоторые предварительные термины.
Определение 2.1. Автоморфизмом P называется биекция 0> на P9 сохраняющая расстояния и преобразующая прямые в прямые.
Теперь сформулируем следующие аксиомы:
1J Вместо предположения о том, что x — произвольное действительное число, можно в этом условии ограничиться подходяще выбранным подмножеством действительных чисел (см. упр. VI. 23).
2) В оригинале «Axiomes de pliage» (аксиомы сгибания), что связано с обычным для школьной геометрии «перегнем плоскость по прямой». — Прим. перев.
8 Ж. Лелон-Ферран
226 ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
IVa Для любой прямой SD в 9 существует единственный автоморфизм 9 помимо тождественного, оставляющий неподвижной каждую точку SD.
Этот автоморфизм называется симметрией с осью S&
и обозначается s&.
IVb Для любой пары (Ox9 Oy) полупрямых с началом О существует по меньшей мере одна прямая SD9 такая, что s® (Ох) = Oy.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ Свойства, связанные с порядком
Предложение 3.1. Прямая плоскости 9 не может пересекать трех сторон треугольника (ABC), за исключением случая, когда она проходит через одну из его вершин.
Доказательство. Предположим, что прямая SD пересекает [ВС] в P9 [CA] в Q9 [AB] в R и не прохо-
A
дит ни через одну из точек A9 B9 С. Тогда точки P9 Q1 R различны и одна из них, для определенности P9 лежит между двумя другими. Прямая (ВС) пересекает отрезок [QR] в P9 но не пересекает ни одного из отрезков [AQ]9 [AR]9 что противоречит аксиоме Паша, примененной к треугольнику (AQR) (рис. 1). ?
Предложение 3.2. Для любой прямой SD в 9 отношение 9I9 определенное на 9 \ SD с помощью
A9tB<^[AB]{\SD=09 (1)
есть отношение эквивалентности, разбивающее 9 на два класса эквивалентности; эти классы называются полуплоскостями, ограниченными прямой SD.
3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ 227
Доказательство. Симметричность и рефлексивность отношения 91 очевидны. Его транзитивность равносильна утверждению:
