Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
1 = 8-
Для доказательства существования / обозначим через S1 такую симметрию, что S1 (А) = Af (S1 единственна, если АФ А')9 и положим Bx = S1 (B)9 C1 = S1 (С). Тогда d(A'9 B1) = d (A9 B) = d(A'9 В')9 откуда следует существование симметрии S2, такой, что S2(Af) = А' и S2(Bx) = B'. Полагая C2 = S2(C1), будем иметь d (A'9 C2)=d (A'9 C{)=d (A'9 С) и d (B'9 C2) = d(Bl9 C1) = = d(B'9 С). Теперь возможны два случая. Если C2 = C9 то требуемым автоморфизмом является / = = S2 о S1. Если же С2ФС'9 то прямая (A'В') есть медиатриса отрезка [C2C]. Обозначив через S3 симметрию с осью (А'В')9 найдем требуемый автоморфизм: f = S3q S2o S1. ?
Следствие. Всякий автоморфизм / плоскости P разлагается в произведение не более чем трех осевых симметрии.
5. ВРАЩЕНИЯ
Определение 5.1. Вращением с центром О называется автоморфизм P9 имеющий О единственной неподвижной точкой либо совпадающий с тождественным отображением.
1J Напомним, что существование f составляет «третий признак равенства треугольников».
9 Ж. Лелон-Ферран
234
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Произведение симметрии
Теорема 5.1. а) Произведение двух симметрии, оси которых 3), 3)' проходят через точку О, есть вращение с центром О.
Ь) Обратно, для любого вращения г с центром О и любой прямой 3), проходящей через О, существуют прямые 3)\ 3)", проходящие через О, такие, что
S&' ° Sg} Г = S& ° Sw.
Доказательство, а) г = s& о Sw есть автоморфизм 9 с неподвижной точкой О. Если г имеет вторую неподвижную точку Л, то для точки B = S^[A) имеем S^(B) = A и, значит, также Sw(A) = B. По предложению 4.2, A = B или 2) = 2)'. Но если A = B, то Л — общая точка прямых 2), 2)' и, поскольку АфО, мы снова имеем 2) = 2)'. Таким образом, г не имеет неподвижной точки, кроме О, за исключением случая 2)' = 2), когда г = Id^. Во всех вариантах г есть вращение с центром О.
Ь) Если г = Id^, результат очевиден; в противном случае пусть Лє2)\{0} и В = г (А). Тогда точка О равноудалена от Л и В и существует симметрия с осью 2)', проходящей через О, меняющая местами Л и ?. Композиция S^ о г есть автоморфизм 9, отличный от Id^, с неподвижными точками О и Л; значит, он является симметрией с осью 2) = (0Л), и
мы имеем S&'o Г = S& или Г = Sw 0 S&.
Аналогично, существует прямая 2)", такая, что г"1 = Sw 0S^9 откуда г = s&o sw. D
Следствие 1. Если г — вращение с центром О и 3) — прямая, проходящая через О, то композиции
0 г и г о Sw суть симметрии с осями, проходящими через О.
Следствие 2. Для любой пары (Oxt Oy) полупрямых с общим началом О существует единственное вращение г с центром О, такое, что г (Ох) = Oy.
Пусть, в самом деле, 5 — симметрия относительно прямой (Ох). Для того чтобы существовало вращение г с центром О, при котором г (Ох)= Oy, необ-
S. ВРАЩЕНИЯ
235
ходимо и достаточно, чтобы автоморфизм rjs был симметрией s't переставляющей Ox и Oy, откуда г = = s'L°s. ?
Группа вращений с заданным центром
> Теорема 5.2. Вращения с центром О образуют коммутативную группу.
Доказательство. Пусть г, ґ— два вращения с центром О.
a) Покажем, что r'°r~l — вращение с центром О. При выбранной прямой 3), проходящей через О, теорема 5.1 показывает, что существуют две прямые А, А', проходящие через О, такие, что r = SA<>s& и г' = = Sa' о S®. Тогда
Г' о Г-1 = 5Д, о о S-I о S-I = 5д,о 5д,
откуда видно, что г' ° г-1 — вращение.
b) Покажем, что г ° ґ = ґ ° г.
Пусть А — произвольная точка в 9\{0} и s — симметрия с осью (OA). Тогда r°s является симметрией с осью, проходящей через О, переводящей А в В = г (А) и, следовательно, переставляющей эти точки, откуда г ° 5 (В) = А. Аналогично, ґ ° s есть симметрия с осью, проходящей через О, переставляющая точки А и В'= г'(А), откуда ґ °s(B') = А.
Но, в силу части а), г ° г' и г' °г — вращения. Применяя следствие 1, мы увидим, что r'j>r°s— симметрия с осью, проходящей через О, переводящая В в В', в то время как r°r'°s— симметрия с осью, проходящей через О, переводящая В' в В. Имеем r'°r,°s = = г о ґ о 5, откуда г о у = г' °г. ?
Приведенное выше следствие 2 можно сформулировать, сказав, что группа вращений с центром О действует просто транзитивно на множестве полупрямых с началом в О, а также на каждой окружности с центром О и радиусом R ф 0.
Покажем, наконец, что группа 9I0 вращений с центром О всегда изоморфна некоторой фиксированной группе при изменении точки О.
9*
236
гл. vi. метрическая геометрия
Предложение 5.3. Если О, О' — две различные точки P и 5 — осевая симметрия, переставляющая О и О', то отображение h: 0lo~^3lo^ r\—>sor<>s является изоморфизмом групп.
Доказательство. Пусть г<=91о и r' = 5oros; если U = Id^, то г' = Id^. Если г =5^ Id^, то г' есть автоморфизм P с единственной неподвижной точкой О' = s (О), т. е. вращение с центром 0х, причем r'~~l = sor~l Os. Наконец, для двух вращений гь г2 с центром О имеем
h (Г,) о Й (Г2) = (5 о Г{ о S) (5 о Г2 о 5) = = 5 о (г{ о Г2) о 5 = Л (rj о Г2).
Итак, Л в самом деле есть изоморфизм 3Io на 01о'. ?
