Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
OM = XOA9 где (О, Л)— фиксированный репер 3) и X пробегает /О: это получается из самого определения
вектора XOА. Таким образом, «прямые» в 9 — это прямые аффинной структуры на 9>. ?
Отметим, что этот результат получен без предположения, что плоскость трансляций 3> удовлетворяет большой аксиоме Дезарга или аксиоме Паппа: здесь это следствие аксиом порядка и аксиомы Архимеда (см. § 9).
> Отметим также, что любая аффинная плоскость над каким-либо подполем R удовлетворяет этим аксиомам: поле остается неопределенным подполем R, пока на плоскость 9 не накладываются дополнительные требования.
Теорема 10.4 составляет основу элементарной геометрии. В гл. VI мы изучим дополнительные аксиомьг позволяющие построить евклидову геометрию.
И. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ: ИСТОЛКОВАНИЕ АКСИОМЫ ДЕЗАРГА С ПОМОЩЬЮ ВЛОЖЕНИЯ
Обобщая определение 1.1, введем
> Определение ПЛ. Пространством проективного типа называется пара (E9 SS)9 состоящая из
a) множества E9 называемого пространством, элементы которого именуются точками;
b) множества S подмножеств E9 называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Ei Через любые две различные точки E проходит дна и только одна прямая.
E2 Если Л, B9 C9 D — четыре различные точки E9 такие, что прямые (AB) и (CD) пересекаются, то пересекаются и прямые (AC)9 (BD).
E3 Каждая прямая содержит по меньшей мере три точки.
212
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Это определение очевидным образом охватывает плоскости проективного типа, пустое множество и множества, сводящиеся к точке или к «прямой».
Несмотря на слабость сформулированных аксиом1), мы увидим, что, за исключением особых случаев, которые будут перечислены, всякое пространство проективного типа удовлетворяет аксиоме Дезарга и допускает проективную структуру над подходящим телом. С этой целью начнем с аксиоматического исследования подпространств пространства проективного типа.
Определение 11.2. Пусть E — пространство проективного типа. Подмножество X a E называется подпространством E1 если для любой пары (A1 В) точек X1 такой, что А Ф Ву прямая (AB) содержится в X.
Каждое подпространство E допускает естественную структуру пространства проективного типа, индуцированную структурой E1 и справедливо
Предложение 11.1. Пересечение семейства подпространств E есть подпространство Е.
В частности, если X — непустое подмножество Еу то пересечение подпространств E1 содержащих X1 называется подпространством, порожденным X.
Предложение 11.2. Пусть E — пространство проективного типа, X — подпространство E и А — точка в Е\Х. Тогда подпространство E1 порожденное Х[) U {A)1 есть множество У точек M в E1 таких, что прямая (AM) пересекается с X.
Доказательство. Очевидно, что каждое подпространство в E1 содержащее А и X1 содержит и У. Остается доказать, что У—подпространство в E1 установив, что каждая прямая, соединяющая две точки M1 N из Y1 содержится в У. Этот факт тривиален, если M или N совпадает с А. Предположим, что M Ф A1 N Ф A1 и пусть M' (соотв. N')—точка пе-
!) Эти аксиомы введены Вебленом и Юнгом [VE—YO]; они намного более простые и общие, чем аксиомы Бибербаха, касающиеся лишь трехмерного случая (см. [KE], т. 2).
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
213
ресечения прямой (AM) (соотв. (AN)) с X (эта точка единственная, так как А не принадлежит X). Обозначив через P произвольную точку прямой (MN)9 отличную от M и N9 мы докажем, что РєУ.
Первый случай. М'ФМ и N'ф N (рис. 26). Поскольку прямые (MM') и (NN') пересекаются в A9 прямые (MN) и (M'N') имеют общую точку /, принадлежащую X (по аксиоме E2); аналогично, поскольку прямые (AN') и (PI) пересекаются в N9 прямые (АР) и (IN') имеют общую точку P'. Так как
Рис. 26 Рис. 27
прямая (W) содержится в X9 то P' принадлежит X; прямая (АР) пересекает X и У.
Второй случай. M' = M (рис. 27). Случай M = Nr очевиден (прямая (MN) проходит через A)9 поэтому предположим, что M Ф N'. Тогда, поскольку прямые (MP) и (AN') пересекаются в N9 прямые (MN') и (АР) имеют также общую точку Р'\ так как прямая (MN') содержится в X9 точка P' принадлежит X и Pt=Y. П
Понятие размерности; плоскости
Определение 11.2. Говорят, что пространство E проективного типа имеет конечную размерность пу если существует конечная система (A09 Ai9 An) из n + 1 точек, порождающая E9 и не существует системы из п точек, порождающей E (такое натуральное п единственно). Если E не порождается никакой конечной системой точек, то говорят, что E бесконечномерно.
Эти определения применимы равным образом и к подпространствам в Е. В частности, подпростран-
214
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ство размерности О есть мая. Подпространство плоскостью.
точка, размерности 1 — пря-размерности 2 называется
Теорема 11.3. Через любые три неколлинеарные точки A9 B9 С пространства проективного типа E проходит единственная плоскость, совпадающая с множеством П таких точек M9 что прямая (AM) пересекается с прямой (ВС).
Доказательство. По предложению 11.2, II есть подпространство Е. С другой стороны всякое подпространство в E9 содержащее A9 B9 C9 содержит и прямую (BC)9 а значит, и П, причем П порождается системой точек A9 B9 С и не сводится к прямой. Итак, dim(n) = 2.
